5.5.1 第3课时 两角和与差的正切公式（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第3课时　两角和与差的正切公式 学习目标 1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式． 2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值． 3．熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用． 知识点　两角和与差的正切公式 你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正切值表示tan (α＋β)，tan(α－β)的公式吗？ 1．两角和的正切公式 tan (α＋β)＝，其中α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)，简记作T(α＋β). 2．两角差的正切公式 tan (α－β)＝，其中α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)，简记作T(α－β). (1)只有当α，β，α±β≠kπ＋(k∈Z)时，上述公式才能成立； (2)公式的符号变化简记为“分子同，分母反”． 角度1　两角和与差的正切公式的正用 [例1] (1)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan (α＋β)的值为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 (2)若tan (α－)＝，则tan α＝________． (1)A　(2)　解析：(1)由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，所以tan (α＋β)＝＝＝－3. (2)方法一　∵tan (α－)＝＝＝. ∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝. 方法二　tan α＝tan [(α－)＋]＝＝＝. (1)直接运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明的关键是准确记忆公式，特别是Tα±β中的符号规律是“分子相同、分母相反”． (2)对于不能直接套用公式的情况，需根据已知与未知进行变形使之联系起来，有时还要借助角的变换技巧． [练1] 已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，求α＋β的值． 解：由根与系数的关系得tan α＋tan β＝－3， tan α·tan β＝4，∴tan α<0，tan β<0， ∴tan (α＋β)＝＝＝， 又－<α<，－<β<，且tan α<0，tan β<0. ∴－<α<0，－<β<0，∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－. 角度2　两角和与差的正切公式的逆用 [例2] ＝(　　) A． B． C． D． C　解析：＝＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝.故选C． 公式T(α±β)的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．如tan ＝1，tan ＝，tan ＝等．要特别注意tan (＋α)＝，tan (－α)＝. [练2] 计算：＝(　　) A．－ B． C．－ D． A　解析：原式＝＝＝＝－＝－＝－.故选A． 角度3　两角和与差的正切公式的变形 [例3] (1)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°的值是________． (2)＝________． 答案：(1)　(2)－1　解析：(1)∵tan 60°＝＝， ∴tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝. (2)∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120°＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120°＝－tan 60°tan 18°tan 42°， ∴原式＝－1. [变式探究] 将本例(1)改为tan 87°tan 33°－tan 87°－tan 33°＝(　　) A． B．－ C． D．－ A　解析：tan 87°tan 33°－tan 87°－tan 33°＝tan 87°tan 33°－tan (87°＋33°)(1－tan 87°tan 33°)＝tan 87°tan 33°＋(1－tan 87°tan 33°)＝.故选A． 两角和与差的正切公式有两种变形形式 ①tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)；②1∓tan α·tan β＝. 当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果． [练3] 若1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，且α，β∈(，π)，则α＋β＝________． 答案：　解析：因为1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，所以tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，所以tan (α＋β)＝＝－1.又α，β∈(，π)，所以π<α＋β<2π，故α＋β＝. 1．知识清单 (1)两角和与差的正切公式的推导； (2)公式的正用、