5.5.1 第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 学习目标 1．会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式． 2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用． 知识点　二倍角的正弦、余弦和正切公式 在两角和的正弦、余弦、正切公式中，若令α＝β，会得到什么公式？ 1．二倍角的正弦公式 sin 2α＝2sin_αcos_α，其中α∈R，简记作S2α. 2．二倍角的余弦公式 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，其中α∈R，简记作C2α. 3．二倍角的正切公式 tan2α＝，简记作T2α. (1)倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为的二倍，3α作为的二倍，α＋β作为的二倍等情况，这里蕴含着换元的思想． (2)余弦的二倍角公式的变形 (3)正弦的二倍角公式的变形 ①sin αcos α＝sin 2α，cos α＝；②1±sin 2α＝(sin α±cos α)2. 角度1　给角求值问题 [例1] 求下列各式的值： (1)－；(2)cos 20°cos 40°cos 80°. 解：(1)原式＝＝ ＝＝＝4. (2)原式＝＝＝＝＝. [变式探究] 将本例(2)变为sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°，如何求值？ 解：原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°＝＝＝＝. (1)同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等都可应用于三角函数式的化简．在应用时，应找到化简思路后再动手化简． (2)注意观察式子的特点及角之间的特殊关系，灵活运用二倍角公式解题，通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)，创造条件正用或者逆用二倍角公式，使问题得以解决． [练1] 求下列各式的值： (1)－＋cos215°＝________； (2)tan －＝________． 答案：(1)　(2)－2　解析：(1)原式＝(2cos215°－1)＝cos30°＝. (2)原式＝＝＝(－2)×＝＝－2. 角度2　给值求值问题 [例2] (1)若sin α－cos α＝，则sin 2α＝___________________. (2)已知cos (α＋)＝，≤α<，求cos (2α＋)的值． 答案：(1)　解析：(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcos α＝1－sin 2α＝()2，即sin 2α＝1－()2＝. (2)解：∵≤α<，∴≤α＋<. ∵cos (α＋)>0，∴<α＋<. ∴sin (α＋)＝－＝－＝－. ∴cos2α＝sin (2α＋)＝2sin (α＋)cos (α＋)＝2×(－)×＝－，sin 2α＝－cos (2α＋)＝1－2cos2(α＋)＝1－2×()2＝. ∴cos(2α＋)＝cos 2α－sin 2α＝×(－－)＝－. [变式探究] 本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝，求sin 2α. 解：由题意，得(sin α＋cos α)2＝， ∴1＋2sin αcos α＝， 即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝－. 解决条件求值问题的方法 解决条件求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； (2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． [练2] 化简求值： (1)已知＜α＜，则＝________； (2)已知α为第三象限角，则－＝________． 答案：(1)sin α－cos α　(2)0　解析：(1)∵α∈(，)， ∴sin α＞cos α，∴＝＝＝＝sin α－cos α. (2)∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0， ∴－＝－＝－＝0. 角度3　化简与证明问题 [例3] (1)已知＝，则tan α＋＝(　　) A．－8 B．8 C． D．－ (2)证明：＝－4. (1)A　解析：＝＝cos α－sin α＝，即(cos α－sin α)2＝，可得sin αcos α＝－， 所以tan α＋＝＋＝＝－8. (2)证明：＝ ＝＝＝ ＝－4. 所以原等式成立． 证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． (2)证明恒等式的一般步骤： ①观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． [练3] －＝(　　) A．－2cos 5° B．2c