5.5.2 第1课时 三角恒等变换(一)（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

5．5.2　简单的三角恒等变换 第1课时　三角恒等变换(一) 学习目标 1．通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式． 2．了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题． 3．掌握两角和与差的正、余弦公式，通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明． 知识点一　半角公式 (1)理解半角的含义：角是角α的半角，角α是角2α的半角，角2α是角4α的半角． (2)半角公式中的±号不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留±两个符号；若给出α的具体范围时，则先求的所在范围，然后根据所在的范围选用符号． [例1] 已知|cos θ|＝，且＜θ＜3π，求sin ，cos ，tan 的值． 解：∵|cos θ|＝，＜θ＜3π， ∴cos θ＝－，＜＜. ∴sin ＝－＝－， cos ＝－＝－，∴tan ＝＝2. [变式探究1] 若条件变为“θ为第二象限角，tan θ＝－，且sin ＜cos”，求sin ，cos ，的值． 解：∵θ为第二象限角，且sin ＜cos ， ∴为第三象限角，故cos ＜0. ∵tan θ＝－，∴cos θ＝－. ∴cos ＝－＝－， sin ＝－＝－，tan ＝2. [变式探究2] 本例条件不变，求的值． 解：∵＜θ＜3π，∴cos θ＝－，sin θ＝. 由＝＝＝－3. 利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算． (4)下结论：结合角的范围求值． [练1] 已知sin α＝－，则tan ＝________． 答案：－或－2　解析：因为sin α＝－，所以cos α＝±. 若cos α＝，则tan ＝＝＝－； 若cos α＝－，则tan ＝＝＝－2. 知识点二　和差化积、积化和差 1．积化和差 sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]； cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]； cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]； sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)]. 2．和差化积 sin θ＋sin φ＝2sin cos ； sin θ－sin φ＝2cos sin ； cos θ＋cos φ＝2cos cos ； cos θ－cos φ＝－2sin sin . [例2] 求sin220°＋cos250°＋sin20°cos 50°的值． 解：方法一　sin220°＋cos250°＋sin20°cos 50°＝(1－cos 40°)＋(1＋cos 100°)＋[sin 70°＋sin (－30°)]＝＋(cos 100°－cos 40°＋sin 70°)＝＋(－2sin 70°sin 30°＋sin 70°)＝＋(－sin 70°＋sin 70°)＝. 方法二　sin220°＋cos250°＋sin20°cos 50°＝(1－cos 40°)＋cos 50°(cos 50°＋sin 20°)＝(1－cos 40°)＋cos 50°(sin 40°＋sin 20°)＝(1－cos 40°)＋cos 50°·2sin 30°cos 10°＝(1－cos 40°)＋cos 50°cos 10°＝(1－cos 40°)＋(cos 60°＋cos 40°)＝. 方法三　令A＝sin220°＋cos250°＋sin20°cos 50°， B＝cos220°＋sin250°＋cos20°sin 50°. 则A＋B＝2＋sin 70°， A－B＝－cos 40°＋cos 100°＋sin (－30°)＝－sin 70°－， 两式相加得2A＝，即A＝， 故sin220°＋cos250°＋sin20°cos 50°＝. 积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式或者把sin αcos β看作x，cos αsin β看作y，把等式看作x，y的方程，则原问题转化为解方程(组)求x，它们都体现了化归思想． 综合应用：三角函数式的化简、证明问题 [例3] 证明：tan －tan ＝. 证明：方法一　tan －tan ＝－＝ ＝＝＝＝右边． 方法二　＝ ＝＝－＝tan x－tan ＝左边． 三角恒等式证明的常见途径 (1)从复杂的一端向简单一端化简，即化繁为简．