5.5.2 第2课时 三角恒等变换(二)（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　三角恒等变换(二) 学习目标 1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并． 2能够利用三角恒等变换解决生活中的实际问题． 知识点一　辅助角公式 你能否将下列式子转化为正弦或余弦函数的表达形式？ sin x±cos x，sin x±cos x，cos x±sin x. 辅助角公式 y＝a sin x＋b cos x＝sin (x＋θ)(其中tan θ＝). (1)辅助角公式a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)可以由两角和的正弦公式推导． (2)辅助角公式中tan φ＝，且辅助角θ的终边经过点(a，b)，一般地，辅助角θ的范围是(0，2π). (3)辅助角公式能够把形如f(x)＝ a sin ωx＋b cos ωx(ab≠0)的函数，都化为a sin x＋b cos x＝sin (ωx＋φ)的形式． [例1] 已知函数f(x)＝cos4x－2sinx cos x－sin4x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的单调区间； (3)若x∈[0，]，求f(x)的最大值及最小值． 解：(1)f(x)＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－sin2x＝cos 2x－sin 2x＝cos (2x＋)， 所以最小正周期T＝＝π. (2)由2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ－](k∈Z). 由2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递减区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z). (3)因为0≤x≤，所以≤2x＋≤， －1≤cos (2x＋)≤，－≤f(x)≤1. 所以当x＝0时，f(x)的最大值为1，当x＝时，f(x)的最小值为－. 研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角恒等变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝a sin x＋b cos x转化为y＝sin (x＋φ)或y＝cos (x＋φ)的形式，以便研究函数的性质． [练1] 已知函数f(x)＝sin2x－sin2(x－)，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值． 解：(1)由已知，有f(x)＝－＝(cos 2x＋sin 2x)－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin (2x－). 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)因为f(x)在区间[－，－]上是减函数，在区间[－，]上是增函数， 且f(－)＝－，f(－)＝－，f()＝. 所以f(x)在区间[－，]上的最大值为，最小值为－. 知识点二　三角函数的实际应用问题 [例2] 如图所示，有一块扇形钢板OPQ，半径为1米，圆心角θ＝，要求按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，使裁下的这块钢板面积最大．试问师傅如何确定A的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？ 解：连接OA，设∠AOP＝α，过A作AH⊥OP，垂足为H. 在Rt△AOH中，OH＝cos α，AH＝sin α， 所以BH＝＝sin α， 所以OB＝OH－BH＝cos α－sin α. 设平行四边形ABOC的面积为S， 则S＝OB·AH＝(cos α－sin α)·sin α＝sin αcos α－sin2α＝sin2α－(1－cos 2α)＝sin 2α＋ cos 2α－＝(sin 2α＋cos 2α)－＝sin (2α＋)－. 由于0<α<，所以<2α＋<π， 当2α＋＝，即α＝时，Smax＝－＝， 所以当A是弧PQ的中点时，所裁钢板的面积最大，最大面积为平方米． 三角函数应用题的特点和处理方法 (1)实际问题的意义反映在三角形的边、角关系上． (2)引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行推理，解决最优化问题． (3)解决三角函数应用问题与解决一般的应用问题一样，先建模，再讨论变量的性质，最后做出结论并回答问题． [练2] 将圆心角为120°，半径为20 cm的扇形铁片裁成一块矩形，如图，让矩形的一边在扇形的一条半径OA上，求此矩形面积的最大值． 解：设裁下的矩形面积为S，连接OM(图略)， 设∠POM＝α(0°<α<90°)， 则S＝OP·MP＝OM cos α·OM sin α＝OM2sin 2α＝200sin 2α. 当sin 2α＝1，即2α＝90°，α＝45°时，矩形的面积S取得最大值200 cm2. 1．知识清单 (1)辅助角公式； (2)三角恒等变换的综合问题； (3)三角函数在实际问题中的应用． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：易忽视实际问题中的定义