5.6 第1课时 函数y ＝A sin (ωx＋φ)的图象(一)（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

5．6　函数y＝A sin (ωx＋φ) 第1课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象(一) 学习目标 1．理解y＝A sin (ωx＋φ)中φ，ω，A对图象的影响． 2．会利用图象的变换解决简单的问题． 知识点一　探索φ对y＝sin (x＋φ)，x∈R图象的影响 如图是函数y＝sin x和y＝sin (x－)的图象． 两个图象有什么关系？ φ对函数y＝sin (x＋φ)，x∈R图象的影响 [例1] 函数y＝sin (x－)的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？ 解：函数y＝sin (x－)的图象，可以看作是把曲线y＝sin x上所有的点向右平移个单位长度得到的． [变式探究1] 函数y＝sin x的图象可以看作是由y＝sin (x－)的图象经过怎样的变换而得到的？ 解：函数y＝sin x的图象，可以看作是由y＝sin (x－)上所有的点向左平移个单位长度得到的． [变式探究2] 函数y＝sin (－x)的图象可以看作是由y＝sin (－x)的图象经过怎样的变换而得到的？ 解：因为y＝sin (－x)＝sin [－(x－)]，故是由y＝sin (－x)的图象向右平移个单位长度得到的． [变式探究3] 求函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后的函数解析式． 解：函数y＝sin 2x向左平移个单位长度可得y＝sin 2(x＋)，即y＝sin (2x＋). [变式探究4] 由函数y＝sin (x＋)的图象经过怎样的变换，可以得到y＝cos x的图象？ 解：因为y＝sin (x＋)＝cos [－(x＋)]＝cos (－x)＝cos (x－)，故只需将函数y＝sin (x＋)的图象向左平移个单位长度即可得到y＝cos x的图象． 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数，再观察x的系数，当x的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为||个单位长度． 知识点二　探索ω(ω>0)对y＝sin (ωx＋φ)图象的影响 观察函数y＝sin x和y＝sin x的图象． 两个函数的周期有什么不同？它们的图象之间有什么关系？ ω(ω>0)对函数y＝sin (ωx＋φ)图象的影响 [例2] 为了得到y＝sin x，x∈R的图象，只需把正弦曲线y＝sin x上所有点的(　　) A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 A　解析：ω＝<1，因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变． 在研究 ω(ω>0)对y＝sin (ωx＋φ)图象的影响时，由y＝sin (x＋φ)图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，即可得到y＝sin (ωx＋φ). [练1] 函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为________． 答案：4　解析：函数 所以ω＝4. 知识点三　探索A(A>0)对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响 如图为同一坐标系下y＝sin (2x－)和y＝3sin (2x－)的图象． 对同一个变量x值，函数图象上点纵坐标间有什么关系？ A(A>0)对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响 [例3] 函数y＝sin (2x－)图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sin (2x－)的图象． 答案：伸长　3　解析：因为A＝3＞1，所以函数y＝sin (2x－)图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin (2x－)的图象． 在研究A(A>0)对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响时，由y＝sin (ωx＋φ)纵坐标(横坐标不变)变成原来的A倍即可得到y＝A sin (ωx＋φ). [练2] 为了得到函数y＝4cos x的图象，只需把余弦曲线y＝cos x上所有点的(　　) A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 C　解析：将y＝cos x图象上所有点的纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变，得到y＝4cos x． 1．知识清单 (1)平移变换； (2)伸缩变换． 2．方法归纳：数形结合法． 3．常见误区：探究平移变换时，需要保证x的系数为1. ◎随堂演练 1．为了得到函数y＝sin (x＋1)的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点(　　) A．向左平行移动1个单位长度 B