5.6 第2课时 函数y ＝ A sin (ωx＋φ)的图象(二)（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象(二) 学习目标 1．掌握y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤． 2．会用“五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象． 知识点一　y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象间的变换关系 由函数y＝sin x的图象得到y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象的两种途径可以通过图形表示，如图． (1)两种变换仅影响平移的单位长度，其余参数不受影响； (2)若相应变换的函数名称不同时，要先用诱导公式转化为同名的三角函数，再进行平移或伸缩． [例1] (1)将函数y＝cos (2x＋)的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________． (2)将y＝sin x的图象怎样变换可得到函数y＝2sin (2x＋)＋1的图象？ 答案：(1)y＝－cos 2x－3　解析：y＝cos (2x＋)的图象向左平移个单位长度，得y＝cos [2(x＋)＋]＝cos (2x＋π)＝－cos 2x，再向下平移3个单位长度得y＝－cos 2x－3的图象． (2)解：方法一(先伸缩后平移)　①把y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin x的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝2sin 2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移个单位长度，得y＝2sin 2(x＋)的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度，得y＝2sin (2x＋)＋1的图象． 方法二(先平移后伸缩)　①将y＝sin x的图象沿x轴向左平移个单位长度，得y＝sin (x＋)的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝sin (2x＋)的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y＝2sin (2x＋)的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度，得y＝2sin (2x＋)＋1的图象． 先平移后伸缩和先伸缩后平移中，平移的量是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而导致错误．弄清平移对象是减少错误的关键． [练1] 将函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数解析式为(　　) A．y＝cos 2x B．y＝－2cos x C．y＝－2sin 4x D．y＝－2cos 4x D　解析：将函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝2cos [2(x－)]＝2cos (2x－π)＝－2cos 2x的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝－2cos 4x的图象，故选D． 知识点二　“五点法”作函数y＝sin (ωx＋φ)图象 [例2] 用“五点法”作出函数y＝2sin (＋)的图象． 解：令t＝＋，列表如下： x － t 0 π 2π y 0 2 0 －2 0 描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象： 用“五点法”作函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)图象的步骤 第一步：列表 ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － y 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象． [练2] 作出函数y＝sin (2x－)在x∈[，]上的图象． 解：令X＝2x－，列表如下： X 0 π 2π x y 0 0 － 0 描点连线得图象如图所示． 1．知识清单 (1)平移变换； (2)伸缩变换； (3)图象的画法． 2．方法归纳：五点法、数形结合法． 3．常见误区：忽视先平移和先伸缩作图时平移的量不一样． ◎随堂演练 1．用五点法作y＝2sin 2x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是(　　) A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， B　解析：由2x＝0，，π，，2π，得x＝0，，，，π. 2．将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是(　　) A．y＝cos 2x B．y＝1＋cos 2x C．y＝1＋sin (2x＋) D．y＝cos 2x－1 B　解析：将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin [2(x＋)]，即y＝sin (2x＋)＝cos 2x的图象，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝1＋cos 2x. 3．已知函数f(x)＝3si