5.6 第3课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第3课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质 学习目标 1．会通过函数y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式． 2．结合正弦函数的性质，掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质． 知识点一　由函数图象求解析式 [例1] 如图所示的是函数y＝A sin (ωx＋φ)(|φ|<)的图象，确定其中一个函数解析式． 解：方法一　由图象知振幅A＝3.又T＝－(－)＝π，∴ω＝＝2.又过点(－，0)， 则得sin (－×2＋φ)＝0，即－×2＋φ＝0，得φ＝，∴y＝3sin (2x＋). 方法二　由图象知A＝3，且图象过点(，0)和(，0)， 根据五点作图法原理，有 解得ω＝2，φ＝，∴y＝3sin (2x＋). 方法三　由图象，知A＝3，T＝π，又图象过点A(－，0)， ∴所求图象由y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度得到，∴y＝3sin 2(x＋)，即y＝3sin (2x＋). 确定函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式中φ的方法 (1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上). (2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(－，0)作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝； “第五点”为ωx＋φ＝2π. [练1] 已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0，0<φ<)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为M(，－2)，求f(x)的解析式． 解：由最低点M(，－2)，得A＝2. 在x轴上两相邻交点之间的距离为，故＝，即T＝π，ω＝＝＝2.由点M(，－2)在图象上得2sin (2×＋φ)＝－2，即sin (＋φ)＝－1， 故＋φ＝2kπ－(k∈Z)， ∴φ＝2kπ－(k∈Z).又φ∈(0，)，∴φ＝. 故f(x)＝2sin (2x＋). 知识点二　函数y＝A sin (ωx＋φ)的有关性质 你能用正弦函数y＝sin x的性质类比三角函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质吗？ 函数y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0的有关性质 名称 性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 对称性 对称中心(，0)(k∈Z) 对称轴 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数 单调性 当2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间；由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间 [例2] 已知函数f(x)＝sin (2x＋)＋. (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心； (3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合． 解：(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π， 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z). (2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)， 所以对称轴方程为x＝＋(k∈Z)； 令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－(k∈Z)， 所以对称中心为(－，)(k∈Z). (3)当sin (2x＋)＝－1，即2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为， 此时x的取值集合是{x|x＝－＋kπ，k∈Z}． 1．正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数y＝A sin (ωx＋φ)和余弦型函数y＝A cos (ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝A sin (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝A cos (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数． 2．与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间． [练2] 已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0≤φ<π)是R上的偶函数，其图象关于点M(，0)对称，且在区间[