5.7 三角函数的应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

5.7　三角函数的应用 学习目标 1．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题． 2．能将实际问题抽象为三角函数模型． 知识点　三角函数模型的应用 1．函数y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 若函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0)表示简谐振动，则 2．三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用． 3．三角函数模型解决实际问题的步骤 我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题． 角度1　三角函数模型在物理学中的应用 [例1] 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的关系式为s＝6sin (2πt＋). (1)作出它的图象； (2)单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置多少厘米？ (3)当单摆摆动到最右边时离平衡位置的距离是多少厘米？ (4)单摆来回摆动一次需多长时间． 解：(1)列表如下： t 0 s 3 6 0 －6 0 描点作图： (2)当t＝0时，s＝3 cm，此时离开平衡位置3 cm. (3)离开平衡位置6 cm. (4)因为T＝＝1， 所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s． 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． [练1] 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin (2t＋)，t∈[0，＋∞).用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题． (1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 解：列表如下： t － 2t＋ 0 π 2π sin (2t＋) 0 1 0 －1 0 s 0 4 0 －4 0 描点、连线，图象如图所示． (1)将t＝0代入s＝4sin (2t＋)，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm. (3)因为振动的周期T＝＝π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s． 角度2　已知三角函数模型解决实际应用问题 [例2] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sin (t＋)，t∈[0，24]. (1)求实验室这一天的最大温差； (2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解：(1)因为f(t)＝10－2sin (t＋)，t∈[0，24]， 所以≤t＋≤，－1≤sin (t＋)≤1， 当t＝2时，sin (t＋)＝1； 当t＝14时，sin (t＋)＝－1， 所以f(t)在[0，24]上的最大值为12，最小值为8. 故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，得当f(t)>11时实验室需要降温． f(t)＝10－2sin (t＋)， 故有10－2sin (t＋)>11，即sin (t＋)<－. 又0≤t≤24，因此，<t＋<，即10<t<18. 故在10时至18时实验室需要降温． 解三角函数应用问题的基本步骤 [练2] 主动降噪耳机工作的主要原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声(如图所示).已知某噪声声波曲线的解析式为f(x)＝A sin (x＋φ)(A＞0，0≤φ＜π)，其中振幅为2且经过点(1，－2). (1)求该噪声声波曲线的解析式f(x)以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g(x)； (2)证明：g(x)＋g(x＋1)＋g(x＋2)为定值． 解：(1)由题意，振幅2，可得A＝2，且经过点(1，－2)，则－2＝2sin (＋φ)， 因为0≤φ＜π，所以φ＝；则f(x)的解析式为f(x)＝2sin (x＋)；由于降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声， 可得g(x)＝－2sin (x＋). (2)由(1)可知g(x)＝－2sin (x＋)； 则g(x)＋g(x＋1)＋g(x＋2)＝－2sin (x＋)－2sin [(x＋1)＋]－2sin [