5.1.2 弧度制（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

5．1.2　弧度制 学习目标 1．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的相互转化． 2．掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式． 知识点一　弧度制的概念 度量长度可以用米、英尺、码等单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制．不同的单位制能给解决问题带来方便．角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ 1．弧度制 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 2．弧度数的计算 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|＝. 3．一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． 一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． [例1] 下列各命题中，为真命题的是(　　) A．1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度等于半径的弧 C．1弧度是1°的弧与1°的角之和 D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小 D　解析：根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确． (1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的； (2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系． [练1] 下列说法正确的是(　　) A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 A　解析：对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误． 知识点二　角度制与弧度制的换算 角度制与弧度制都是度量角的单位，它们之间能相互换算吗？ 1．角度与弧度的换算 (1)弧度单位rad可以省略； (2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用． 2．一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧 度 0 π 2π [例2] 将下列角度与弧度进行互化： (1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°. 解：(1)π＝×180°＝15 330°. (2)－＝－×180°＝－105°. (3)10°＝10×＝. (4)－855°＝－855×＝－. 角度制与弧度制互化的原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝()°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝(α·)°；n°＝n· raD． [练2] (多选)下列转化结果正确的是(　　) A．67°30′化成弧度是 B．－化成角度是－600° C．－150°化成弧度是－ D．化成角度是15° ABD　解析：67°30′＝67.5×＝，A正确；－＝－×()°＝－600°，B正确；－150°＝－150×＝－，C错误；＝×()°＝15°，D正确． 知识点三　弧度制下的扇形的弧长与面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则：(1)弧长公式：l＝αR． (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2. [例3] 已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R. (1)若α＝60°，R＝10，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积； (2)若扇形的周长是定值C(C＞0)，当|α|为多少弧度时，该扇形的面积最大？ 解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓， ∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝， S弓＝S扇－S△＝××10－×10×5＝50(－). (2)扇形周长C＝2R＋l，∴l＝C－2R， ∴S扇＝lR＝(C－2R)R＝－R2＋RC＝－(R－)2＋， ∴当R＝时，S扇有最大值且为， 此时l＝C－2R＝，∴|α|＝＝·＝2. 故|α|＝2时，该扇形的面积最大． 扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π). (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． [练3] 若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为_____________________． 答案：25　解析：设扇形的半径为r，∵216°＝216×＝，∴l＝α·r＝r＝30π，∴r＝25. 综合应用：用弧度表示角