5.2.2 同角三角函数的基本关系（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

5.2.2　同角三角函数的基本关系 学习目标 1．理解并掌握同角三角函数的基本关系． 2．会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明． 知识点　同角三角函数的基本关系 1．计算下列式子的值： (1)sin230°＋cos230°；(2)sin245°＋cos245°； (3)sin290°＋cos290°. 你能得出什么结论？ 2．设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得sinα＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0). 观察上述定义，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？ 同角三角函数的基本关系 1．文字语言：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切． 2．符号语言：(1)sin2α＋cos2α＝1； (2)当α≠kπ＋(k∈Z)时，＝_tan_α． (1)“同角”的含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角关系式都成立； (2)对于sin2α＋cos2α＝1对一切x∈R恒成立，而tanα＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立； (3)sin2α是(sinα)2的缩写，不能写成sin α2. 角度1　求值问题 [例1] 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． 解：∵cos α＝－＜0，∴α是第二或第三象限角． 当α是第二象限角时，sin α＞0，tan α＜0， ∴sin α＝＝＝， tanα＝＝－； 当α是第三象限角时，sin α＜0，tan α＞0， ∴sin α＝－＝－＝－， tanα＝＝. [变式探究] 本例变为已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 解：由tan α＝＝，得sin α＝cos α.① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝. 又α是第三象限角， ∴cosα＝－，sin α＝cos α＝－. 已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限分类讨论； 第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值． [练1] 已知sin φ＝－，且|φ|＜，则tan φ＝(　　) A．－ B． C．－ D． C　解析：∵sin φ＝－，∴cos2φ＝1－sin2φ＝1－(－)2＝，又|φ|＜，即－＜φ＜，∴cosφ＝，则tan φ＝＝＝－. 角度2　化简问题 [例2] 化简： (1)cos6α＋sin6α＋3sin2αcos2α； (2)＋(180°＜α＜270°). 解：(1)原式＝(cos2α＋sin2α)(cos4α－cos2αsin2α＋sin4α)＋3sin2αcos2α＝cos4α＋2sin2αcos2α＋sin4α＝(sin2α＋cos2α)2＝1. (2)因为180°＜α＜270°，所以sinα＜0， 原式＝＋＝＋＝＝－. 三角函数式化简的常用方法 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． [练2] 若<α<π，化简＋. 解：因为<α<π， 所以cosα＝－，sinα＝， 所以原式＝＋＝－＝－＝0. 角度3　证明问题 [例3] 求证：＝. 证明：方法一　左边＝＝＝＝＝右边． 所以原等式成立． 方法二　右边＝＝ ＝＝＝左边． 所以原等式成立． 证明三角恒等式常用技巧及遵循的原则 (1)常用技巧：切化弦、整体代换、“1”的代换等． (2)原则：由繁到简，变异为同． [练3] 求证：＝. 证明：左边＝＝＝＝＝＝＝右边， ∴原等式成立． 1．知识清单 (1)同角三角函数的基本关系； (2)利用同角三角函数的基本关系求值、化简与证明． 2．方法归纳：由部分到整体、整体代换法． 3．常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论． ◎随堂演练 1.等于(　　) A．sin B．cos C．－sin D．－cos A　解析：∵0<<，∴sin >0，∴＝＝sin. 2．若tan α＝2，则2cos2α＋2sinαcos α＝(　　) A． B． C． D． D　解析：∵tan α＝2，∴2cos2α＋2sinαcos α＝＝＝＝.故选D． 3．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sinα，3)，则cos α等于(　　) A． B．－ C． D．－ A　解析：由三角函数定义