5.3 第1课时 诱导公式二、三、四（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

5．3　诱导公式 第1课时　诱导公式二、三、四 学习目标 1．理解诱导公式二～四的推导过程，识记诱导公式，理解和掌握公式的内涵和结构特征． 2．会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简． 知识点　诱导公式二、三、四 观察单位圆及角的终边： 1．角α与角α＋π，－α，π－α的终边有怎样的对称关系？ 2．角α，角π＋α，角－α，角π－α的终边与单位圆的交点分别为P，P1，P2，P3则P与P1，P与P2，P与P3的坐标有怎样的关系？ 诱导公式二、三、四 (1)函数名称不变； (2)运用公式时把α“看成”锐角； (3)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z. 角度1　给角求值问题 [例1] 求下列各三角函数的值： (1)sin (－945°)； (2)cos (－)； (3)sin π·cos (－π)·tan π. 解：(1)方法一　sin (－945°)＝－sin 945°＝－sin (225°＋2×360°)＝－sin 225°＝－sin (180°＋45°)＝sin 45°＝. 方法二　sin (－945°)＝sin (135°－3×360°)＝sin 135°＝sin (180°－45°)＝sin 45°＝. (2)方法一　cos (－)＝cos ＝cos (＋4π)＝cos ＝cos (π＋)＝－cos ＝－. 方法二　cos (－)＝cos (－6π)＝cos ＝cos (π－)＝－cos ＝－. (3)原式＝sin ·cos (2π＋)·tan (4π＋)＝sin ·cos·tan ＝sin (π＋)·cos (π＋)·tan (π＋)＝(－sin )·(－cos )·tan ＝(－)×(－)×1＝. 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化； (2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角； (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值． [练1] tan ＝(　　) A．－ B． C．－ D． A　解析：tan ＝tan (2π－)＝－tan ＝－，故选A． [练2] 求值：cos (－120°)·sin (－150°)＋tan 855°. 解：原式＝cos 120°·(－sin 150°)＋tan 855°＝－cos (180°－60°)·sin (180°－30°)＋tan (135°＋2×360°)＝cos 60°·sin 30°＋tan 135°＝cos 60°·sin 30°＋tan (180°－45°)＝cos 60°·sin 30°－tan 45°＝×－1＝－. 角度2　给值求值问题 [例2] (1)已知cos (－α)＝，求cos (＋α)的值； (2)已知cos (α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin (105°＋α)的值． 解：(1)cos (＋α)＝cos [π－(－α)]＝－cos (－α)＝－. (2)∵cos (α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角， ∴α－75°是第三象限角， ∴sin (α－75°)＝－＝－＝－， ∴sin(105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)]＝－sin (α－75°)＝. [变式探究1] 本例(1)条件不变，求cos (＋α)－sin2(α－)的值． 解：因为cos(＋α)＝cos [π－(－α)]＝－cos (－α)＝－， sin2(α－)＝sin2(－α)＝1－cos2(－α)＝， 所以cos(＋α)－sin2(α－)＝－－＝－. [变式探究2] 若将本例(1)中条件“cos(－α)＝”改为“sin (α－)＝，α∈(，)”，求cos (＋α)的值． 解：因为α∈(，)，则α－∈(，π). 所以cos (＋α)＝cos [π－(－α)]＝－cos (－α)＝－cos (α－)＝＝＝. 解决条件求值问题的两个技巧 (1)寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系． (2)转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 角度3　化简求值问题 [例3] 化简：. 解：原式＝＝ ＝＝ ＝＝＝－1. 三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“切化弦”法，即表达式中的正切函数通常化为正、余弦函数． (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan. [练3] 若cos α＝，α是第四象限角， 则＝_________________. 答案：　解析：由已知cos α＝，α是第四象限角，得 sin α＝