4.5.3 函数模型的应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

4.5.3　函数模型的应用 学习目标 1．能利用已知函数模型求解实际问题． 2．能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题． 知识点　几种常见函数模型 名称 解析式 条件 一次函数模型 y＝kx＋b k≠0 反比例函数模型 y＝＋b k≠0 二次函数模型 一般式：y＝ax2＋bx＋c 顶点式：y＝a(x＋)2＋ a≠0 指数函数模型 y＝b·ax＋c a＞0且a≠1，b≠0 对数函数模型 y＝mlogax＋n a＞0且a≠1，m≠0 幂函数模型 y＝axn＋b a≠0，n≠1 角度1　指数函数模型 [例1] 一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减． (1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式； (2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(参考数据：lg 0.5≈0.301 0，lg 0.9≈－0.045 8.结果精确到0.1). 解：(1)最初的质量为500 g. 经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9； 经过2年，w＝500×0.92； 由此推知，t年后，w＝500×0.9t. (2)由题意得500×0.9t＝250， 即0.9t＝0.5，两边取以10为底的对数， 得lg 0.9t＝lg 0.5，即t lg 0.9＝lg 0.5， ∴t＝≈6.6，即这种放射性元素的半衰期为6.6年． 在实际问题的应用中，常见的增长率问题的解析式可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示． [练1] 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述．设物体的初始温度是T0，经过一定时间t(单位：min)后的温度是T(单位：℃)，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？ 解：先设定半衰期h，由题意知40－24＝(88－24)×， 故原式可化简为T－24＝(88－24)×， 当T＝32时，代入上式，得32－24＝(88－24)×， 即＝＝＝()3，∴t＝30. 因此，降温到32 ℃需要30 min. 角度2　对数函数模型 [例2] 5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2(1＋).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1 000提升至2 000，则C大约增加了(参考数据：lg 2≈0.3)(　　) A．10% B．30% C．50% D．100% A　解析：当＝1 000时，C＝Wlog2(1＋1 000)， 当＝2 000时，C＝Wlog2(1＋2 000)， 则＝－1≈－1＝lg 2， 根据选项分析，lg 2≈0.1， 所以将信噪比从1 000提升至2 000，C大约增加了10%. 对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解； (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． [练2] 有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log3－lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中该类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg 2≈0.30，31.2≈3.74，31.4≈4.66). (1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，候鸟的飞行速度是多少？ (2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？ (3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ 解：(1)由题意，x0＝2，x＝8 100， 得v＝log3－lg 2≈1.7， 故此时候鸟的飞行速度为1.7 km/min. (2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0， 可得0＝log3－lg 5， 即log3＝2lg 5＝2(1－lg 2)，解得x≈466， 故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量约为466个单位． (3)设雄鸟的耗氧量为x1，雌鸟的耗氧量为x2， 由题意得 两式相减可得1＝log3()，解得＝9， 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍． 角度3