2.1 第1课时 不等关系与不等式（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

2．1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系． 2．初步学会作差法比较两实数的大小． 知识点一　用不等式(组)表示不等关系 现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，如： 在数学中，我们怎样来表示这些不等关系？ 1．不等关系：不等关系常用不等式来表示． 2．不等式：用不等号(>，<，≥，≤，≠)表示不等关系的式子叫作不等式． 利用不等式表示不等关系的注意点 (1)利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示． (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一． [例1] 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系． 解：由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0<x≤18， 这时菜园的另一条边长为＝(15－)(m). 因此菜园面积S＝x·(15－)，依题意有S≥110， 即x(15－)≥110， 故该题中的不等关系可用不等式表示为 用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤 (1)审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量； (2)列不等关系．列出待求量具备哪些不等关系(即满足什么条件)； (3)列不等式(组).挖掘题意，建立已知量和待求量之间的关系式，并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件). [练1]某高速公路要求行驶车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　) A．v≤120 km/h，且d≥10 m B．v≤120 km/h，或d≥10 m C．v≤120 km/h D．d≥10 m A　解析：v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，d不得小于10 m，即d≥10 m． [练2]京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系． 解：设复兴号列车速度为v1，民航飞机速度为v2，普通客车速度为v3. v1，v2的关系：2v1＋100≤v2，v1，v3的关系：v1＞3v3. 知识点二　实数a，b的大小比较 你能说出上图中数轴上实数a，b的大小关系吗？ 比较数(式)的大小常用作差与0比较 作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用． [例2] 已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． 解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1).由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1. [变式探究] 把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小． 解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1).∵3x2＋1＞0， 当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1； 当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1. 作差法比较两个实数大小的基本步骤 [练3]比较下列各组中两数的大小： (1)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2； (2)已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，比较m与n的大小． 解：(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b). ∵a>0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0， ∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2. (2)∵m－n＝＋－＝－＝＝. 又x，y均为正数，∴xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0. ∴m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立). 知识点三　重要不等式 如图是由在北京召开第24届国际数学家大会的会标抽象出来的图形，你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？从中你能得出哪个不等式？它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？ 重要不等式 　一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab， 当且仅当a＝b时，等号成立． [练4]不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1