2.1 第2课时 不等式的性质（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　不等式的性质 学习目标 1.了解等式的性质． 2．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 知识点一　等式的性质 (1)性质1　如果a＝b，那么b＝a； (2)性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3)性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； (4)性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； (5)性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点二　不等式的性质 小朋友问：“妈妈，你比我大多少岁啊？” 妈妈笑着回答道：“妈妈比你大25岁”，小朋友高兴地说：“再过25年我就和妈妈一样大了”． 小朋友的说法显然不对，你能从不等式的性质角度说明原因吗？ 不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a． (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c． (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c． (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc． (5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d． (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd． (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)． (1)在应用不等式性质时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件． (2)要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性． [例1] 对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则> C．若a<b<0，则> D．若a>b，>，则a>0，b<0 D　解析：方法一　∵c2≥0，∴当c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题； 由a>b>0，得ab>0⇒>⇒>，故B为假命题； ⇒>，故C为假命题；⇒ab<0. ∵a>b，∴a>0且b<0，故D为真命题． 方法二(特殊值排除法)　取c＝0，则ac2＝bc2，故A错误；取a＝2，b＝1，则＝，＝1，有<，故B错误；取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，有<，故C错误． 利用不等式判断正误的2种方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则，一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． [练1](多选)下列四个结论中正确的是 (　　) A．a>b，c<d⇒a－c>b－d B．a>b>0，c<d<0⇒ac>bd C．a>b>0⇒a3>b3 D．a>b>0⇒> AC　解析：利用不等式的同向可加性可知A正确；根据不等式的性质可知ac<bd，故B不正确；根据不等式性质七可知C正确；对D由a>b>0可知a2>b2>0，所以<，所以D不正确． [练2]下列命题正确的是(　　) A．若a2＞b2，则a＞b B．若＞，则a＜b C．若ac＞bc，则a＞b D．若＜，则a＜b D　解析：A错误，例如(－3)2＞22；B错误，例如＞－；C错误，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜B． 综合应用：不等式性质的应用 角度1　利用不等式性质证明不等式 [例2] 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0. 求证：＞. 证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0. ∴(a－c)2＞(b－d)2＞0. 两边同乘以，得＜. 又e＜0，∴＞. [变式探究] 本例条件不变，求证：＞. 证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. ∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴0＜＜， 又∵e＜0，∴＞. 利用性质证明不等式的注意点 应严格利用题中条件与性质定理、推论进行证明，不能随便引用一些简易结论作为论证依据，否则会造成论证不严谨． [练3]已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bC． 证明：∵a>b，c>0，∴ac>bC．∴－bc＞－aC． 又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc，∴e－bc>f－ac，不等式得证． 角度2　利用不等式性质求范围 [例3] 已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围． 解：∵1＜a＜4，2＜b＜8，∴2＜2a＜8，6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32.∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，－7＜a－b＜2. ∴8＜2a＋3b＜32，－7＜a－b＜2. 求含有字母的数(或式)的取值范围时应注意的两点 (1)要注意题设中的条件． (2)要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除． [练4]已知－1<a<b<1，则a－b的取值范围是________． 答案：(－2，0)　解析：∵－1<a<b<1，－1<b<1， ∴－1<－b<1，∴－1－1<a－b<1＋1， 即－2<a－b<2，又a<b，∴a－b<0，∴－2＜a－b＜0.