2.2 第2课时 基本不等式的应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　基本不等式的应用 学习目标 1.会用基本不等式证明不等式． 2．会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题. 知识点一　利用基本不等式证明不等式 [例1] 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9. 证明：∵a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1， ∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)≥3＋2＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当即a＝b＝c＝时等号成立， ∵a，b，c是互不相等的正数，∴＋＋>9. [变式探究] 本例条件不变，求证：(－1)(－1)(－1)>8. 证明：∵a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1， ∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0， ∴(－1)(－1)(－1)＝··≥＝8， 当且仅当即a＝b＝c＝时等号成立， 又∵a，b，c是互不相等的正数， ∴(－1)(－1)(－1)>8. 利用基本不等式证明不等式的策略和注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，在证明不等式时注意使用条件； ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用． (3)特别提醒：在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性． [练1]已知a>0，b>0，且a＋b＝＋，求证：a＋b≥2. 证明：由a>0，b>0，则a＋b＝＋＝， 由于a＋b>0，则ab＝1，即a＋b≥2＝2， 当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以a＋b≥2. 知识点二　利用基本不等式解决实际问题 角度1　利用基本不等式求实际问题中的最大值问题 [例2] 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．求： (1)仓库面积S的最大允许值是多少； (2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长． 解：设铁栅长为x m，一侧砖墙长为y m，则顶部面积为S＝xy(m2). (1)依题设，得40x＋2×45y＋20xy＝3 200. 由基本不等式得3 200≥2＋20xy＝120＋20xy＝120＋20S. 所以S＋6－160≤0，即(－10)(＋16)≤0， 故0＜≤10，从而0＜S≤100. 所以S的最大允许值是100 m2. (2)S取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100， 所以求得x＝15，即正面铁栅的长是15 m． [练2] 某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室. 在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 解：设矩形温室的长为x m，则宽为 m(0<x<200). 依题意有，种植面积S＝(x－2)(－4)＝800－－4x＋8＝808－(＋4x)≤808－2 ＝648(m2)，当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立． 即当矩形温室的长为20 m，宽为40 m时，种植面积最大，最大种植面积是648 m2. 角度2　利用基本不等式求实际问题中的最小值问题 [例3] 小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度． 解：设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y)m. 方法一　已知xy＝16， 由≥，可知x＋y≥2＝8，所以2(x＋y)≥16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 方法二　由已知xy＝16，可知y＝， 所以2(x＋y)＝2(x＋)≥2×2＝16. 当且仅当x＝y＝4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m． [变式探究] 如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？ 解：由已知得2(x＋y)＝12，故x＋y＝6，面积为xy， 由≤＝＝3或＝≤＝3， 可得xy≤9，当且仅当x＝y＝3时，等号成立． 因此，当游乐园为边长为3的正方形时，面积最大，最大面积为9 m2. 运用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)认真审题，恰当选择变量(x或y)，并求其取值范围． (2)用x或y表示要求最大(小)值的量z. (3)利用基本不等式，求出z的最大(小)值． (4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案． [练3