2.2 第1课时 基本不等式（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 学习目标 1.了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 知识点一　基本不等式 从上图中的我们可以得出重要不等式：一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样结论？ 1．有关概念 当a，b均为正数时，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．基本不等式 当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立． [例1] 给出下面四个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－[(－)＋(－)]≤－2＝－2. 其中正确的推导为(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ B　解析：①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的．③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，－，－均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确． 对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： (1)定理成立的条件是a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝B． [练1]下列不等式的推导过程正确的是______________．(填序号) ①若x＞1，则x＋≥2＝2. ②若x＜0，则x＋＝－[(－x)＋(－)]≤－2＝－4. ③若a，b∈R，则＋≥2＝2. 答案：②　解析：①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝，即x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件． 综合应用：基本不等式的简单应用 角度1　求简单代数式的最值 [例2] 已知x>0，则x＋的最小值是________________． 答案：4　解析：因为x>0，所以x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，因此所求的最小值为4. [变式探究1] 本例将条件“x>0”变为“x<0”时，则x＋的最大值是________． 答案：－4　解析：原多项式可变为x＋＝－(－x＋)，因为x<0，则－x>0，故有－x＋≥2＝4， 所以－(－x＋)≤－4，当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立．故原式的最大值为－4. [变式探究2] 本例变为：当x>1时，求x＋的最小值． 解：因为x>1，故有x－1>0，所以x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．因此所求最小值为5. 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即 (1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，a>0，b>0； (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可． 角度2　最值定理的应用 最值定理 已知x，y都为正数，则： (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2， 简记为：积定和最小，和定积最大． [例3] (1)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________； (2)已知0<x<，则y＝x(1－2x)的最大值为________． 答案：(1)81　(2)　解析：(1)因为x>0，y>0，所以≥，即xy≤()2＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，所以(xy)max＝81. (2)由题意知1－2x>0，则y＝x(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤()2＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立．所以y的最大值为. 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求最值应注意以下几个方面： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． [练2]已知a>0，b>0，且(a＋1)(b＋1)＝2，则a＋b的最小值为(　　) A．1－ B．2－ C．－1 D．2－2 D　解析：a>0，b>0，且(a＋1)(b＋1)＝2，则a＋b＝a＋1＋b＋1－2≥2－2＝2－2，当且仅当a＝b＝－1时取等号． 1．知识清单 (1)基本不等式的推导与证明； (2)求简单代数式的最值； (3)最值定理． 2．方法归纳：拼凑