2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

2．3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式 学习目标 1.从函数观点看一元二次方程，了解二次函数的零点与方程根的关系． 2．从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 3．借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 知识点一　一元二次不等式 观察下列不等式 ①x2>0；②－x2－2x≤0；③x2－5x＋6>0. 1．以上给出的3个不等式，它们含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？ 2．三个不等式在表达形式上有何共同特点？ 一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. [练1] 已知下列不等式：①ax2＋2x＋1>0；②x2－2y>0； ③－x2－3x<0；④>0. 则其中为一元二次不等式的是________．(填序号) 答案：③　解析：①当a＝0时不是一元二次不等式；②含有两个未知量；④是分式不等式；③符合一元二次不等式的定义． 知识点二　一元二次不等式的解法 二次函数y＝x2－12x＋20的图象与x轴有两个交点，这与方程x2－12x＋20＝0的根有什么关系？ 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ (1)若不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集； (2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集． [例1] 解下列不等式： (1)－2x2＋x－6＜0；(2)－x2＋6x－9≥0； (3)x2－2x－3＞0；(4)－4x2＋4x－1＞0. 解：(1)原不等式可化为2x2－x＋6＞0. 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6＜0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图1所示). 观察图象可得，原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图2所示， 根据图象可得，原不等式的解集为{x|x＝3}． (3)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3. 函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－1，0)和(3，0)，如图3所示． 观察图象可得不等式的解集为{x|x＜－1或x＞3}． (4)－4x2＋4x－1＞0等价于4x2－4x＋1＜0，且方程4x2－4x＋1＝0有两个相等实根x1＝x2＝，画出函数y＝4x2－4x＋1的图象，如图4所示．图象中没有满足4x2－4x＋1＜0的点，故原不等式的解集为∅. 解一元二次不等式的一般步骤 第一步，将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)； 第二步，求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根； 第三步，画出相应二次函数的草图，方程有根的将根标在图中； 第四步，观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集． [练2]设集合A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　　) A．{2} B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4} B　解析：由x2－2x－8<0解得－2<x<4，故A＝{x|－2<x<4}，又B＝{2，3，4，5}，故A∩B＝{2，3}. 故选B． [练3]不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是(　　) A． B． C． D． D　解析：方法一　取x＝1检验，满足题意，排除A；取x＝4检验，不满足题意，排除B，C，故选D． 方法二　原不等式可化为2x2＋7x－9≤0，即(x－1)(2x＋9)≤0，解得－≤x≤1，故选D． 综合应用：三个“二次”之间的关系 [例2] 已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集． 解：由根与系数的关系，可得∴不等式bx2＋ax＋1＞