1.2 集合间的基本关系（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

1.2　集合间的基本关系 学习目标 1.理解两个集合间的包含关系． 2．能用符号和Venn图表示两个集合间的关系． 3．理解空集与子集、真子集之间的关系． 知识点一　子集 1．如果把“马”和“黑马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？ 2．观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？集合之间的元素有怎样的关系？ (1)A ＝{1，2，3}，B ＝{1，2，3，4，5}； (2)C为高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合． 1．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A． (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2．Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． “A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B． [例1] 判断下列各对集合是否有包含关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 解：(1)集合A是数集，集合B是点集，故A与B之间无包含关系． (2)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N⊆M，M与N有包含关系． 判断集合间关系的三种方法 (1)列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系． (2)元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断． (3)图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系． [练1] 判断下列每对集合之间的关系： (1)A＝{x|x＝2k，k∈N}，B＝{y|y＝4m，m∈N}； (2)C＝{1，2，3，4}，D＝{x|x是12的约数}； (3)E＝{x|x－3<2，x∈N*}，F＝{1，2，3，4，5}． 解：(1)由题意，集合A是偶数集合，集合B是4的倍数的集合，显然，B⊆A． (2)由于D＝{x|x是12的约数}＝{1，2，3，4，6，12}，故C⊆D． (3) E＝{x|x－3<2，x∈N*}＝{x|x<5，x∈N*}＝{1，2，3，4}，故E⊆F. 知识点二　集合相等、真子集与空集 1．观察下面几个实例： (1)设A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是有一个角是直角的平行四边形}； (2)A＝{1，5，6}，B＝{5，6}． 你能发现两个集合间有什么关系？ 2．集合A＝{x∈R|x2－x＋1＝0}中有多少个元素？ 1．集合相等 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B． 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B． 2．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且xA，就称集合A是集合B的真子集 记法 记作AB(或BA) 图示 结论 (1)AB且BC，则AC； (2)A⊆B且A≠B，则AB 与子集、真子集个数有关的3个结论 假设集合A中含有n个元素，则有： (1)A的子集的个数为2n个； (2)A的真子集的个数为2n－1个； (3)A的非空真子集的个数为2n－2个． 3．空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅A ∅与{0}的区别：∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅{0}． [例2] 已知集合M满足：{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况． 解：由题意可以确定集合M必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； 含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； 含有5个元素：{1，2，3，4，5}． 故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}． 求集合子集、真子集个数的步骤 [练2]已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝(　　) A．1 B．2 C．3