1.3 第1课时 集合的并集与交集（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

1．3　集合的基本运算 第1课时　集合的并集与交集 学习目标 1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． 2．能使用Venn图或数轴表达集合的关系及运算． 知识点一　并集及其性质 观察集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{1，2，3，4}． 1．集合A，B中的元素与集合C的关系是什么？ 2．集合C中的元素与集合A中元素和集合B中元素有什么关系？ 1．并集概念 2．并集的性质 (1)A∪B＝B∪A；(2)A∪A＝A； (3)A∪∅＝∅∪A＝A； (4)如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立． (1)A∪B仍是一个集合． (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且xB；②x∈A且x∈B；③xA且x∈B． (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性． [例1] (1)已知集合M＝{0，1，3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N＝(　　) A．{0} B．{0，3} C．{1，3，9} D．{0，1，3，9} (2)已知集合P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q＝(　　) A．{x|－1≤x<3} B．{x|－1≤x≤4} C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1} (1)D　(2)C　解析：(1)因为M＝{0，1，3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}＝{0，3，9}，所以M∪N＝{0，1，3，9}． (2)在数轴上表示两个集合，如图． ∴P∪Q＝{x|x≤4}．故选C． 求并集的基本方法 [练1]设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B等于(　　) A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4} C　解析：A∪B＝{x|1≤x≤3}∪{x|2<x<4}＝{x|1≤x<4}． [练2]集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 D　解析：因为A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0，1，2，4，16}，所以a＝4，a2＝16. 知识点二　交集及其性质 观察集合A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6}，C＝{3，4}． 1．集合A与集合B有公共元素吗？它们组成的集合是什么？ 2．集合C中的元素与集合A，B有什么关系？ 1．交集概念 2．交集的性质 (1)A∩B＝B∩A；(2)A∩A＝A； (3)A∩∅＝∅∩A＝∅； (4)如果A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立． (1)A∩B仍是一个集合； (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B； (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅. [例2] (1)(2022·全国乙卷)集合M＝{2，4，6，8，10}，N＝{x|－1<x<6}，则M∩N＝(　　) A．{2，4} B．{2，4，6} C．{2，4，6，8} D．{2，4，6，8，10} (2)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝(　　) A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5} (1)A　(2)C　解析：(1)因为M＝{2，4，6，8，10}， N＝{x|－1<x<6}， 所以M∩N＝{2，4}．故选A． (2)将集合A，B画在数轴上，如图． 由图可知A∩B＝{x|2<x<3}，故选C． 交集运算的注意点 (1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为定义法和数形结合法． (2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示． [练3]已知A＝{x|1<x<6}，B＝{x|4<x<8}，则A∩B＝________． 答案：{x|4<x<6}　解析：借助数轴得A∩B＝{x|4<x<6}． [练4]设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是(　　) A．－1<a≤2 B．a>2 C．a≥－1 D．a>－1 D　解析：因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a>－1. 综合应用：集合交集、并集的性质及应用 [例3] 已知集合A＝{x|－3<x≤4}，B＝{x|2－k≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围． 解：∵A∪B＝A，∴B⊆A． 若B＝∅，则2－k>2k－1，得k<1； 若B≠∅，则解得1≤k