1.3 第2课时 全集、补集及综合运用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　全集、补集及综合运用 学习目标 1.理解全集和补集的含义． 2．能使用Venn图或数轴表达集合的关系及运算． 知识点一　全集 根据方程(x－3)(x2－2)＝0在不同范围内的解集，完成下面的问题： 该方程在有理数集内的解集为________；在实数集内的解集为________． 全集 定义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集 记法 通常记作U “全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体问题加以选择的． 知识点二　补集 观察下面三个集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6，7，8}，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8} ，完成下面的问题： 1．集合A，B，U有什么关系？ 2．B中元素与U和A有何关系？ 1．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且xA} 图形语言 2．补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝U； (2)A∩(∁UA)＝∅； (3)∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A； (4)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)； (5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B). (1)补集是集合之间的一种运算关系，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同，因此它们是相互依存、不可分割的两个概念． (2)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． [例1] (1)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________． (2)已知全集U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝________． 答案：(1){x|x<－3或x＝5}　(2){2，3，5，7} 解析：(1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3或x＝5}． (2)方法一　A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}， ∴U＝{1，2，3，4，5，6，7}．又∁UB＝{1，4，6}，∴B＝{2，3，5，7}． 方法二　借助Venn图，如图所示． 由图可知B＝{2，3，5，7}． 求集合补集的方法 (1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解； (2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集； (3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题． [练1]若集合A＝{x|－1≤x<1}，当S分别取下列集合时，求∁SA． (1)S＝R； (2)S＝{x|x≤2}； (3)S＝{x|－4≤x≤1}． 解：(1)把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝{x|x<－1或x≥1}． (2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝{x|x<－1或1≤x≤2}． (3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝{x|－4≤x<－1或x＝1}． 综合应用：集合中的混合运算 角度1　交集、并集、补集的简单综合 [例2] 已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP). 解：将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示． 因为A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}， 所以A∩B＝{x|－1<x<2}．∁UB＝{x|x≤－1或x>3}， 又P＝， 所以(∁UB)∪P＝. 又∁UP＝， 所以(A∩B)∩(∁UP)＝{x|－1<x<2}∩＝{x|0<x<2}． [变式探究1] 在本例的条件下，求(∁UA)∩(∁UP). 解：画出数轴，如图所示： 观察数轴可知(∁UA)∩(∁UP)＝. [变式探究2] 将本例中的集合P改为{x|x≤5}，且全集U＝P，A，B不变，求A∪(∁UB). 解：画出数轴，如图所示， 观察数轴可知A∪(∁UB)＝{x|x<2或3<x≤5}． 求解集合混合运算问题的一般顺序 解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，然后再运算其他，如求(∁R A)∩B时，可先求出∁R A，再求交集． [练2]设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B． 解：把全集R和集合A，B在数轴上表示如下， 由图知，A∪B＝{x|2<x<10}， 所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}． 所以∁RA＝{x|x<3或x≥7}， 所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}． 角度2　利用集合间的关系求参数 [