1.4.1 充分条件与必要条件（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

1.4　充分条件与必要条件 1．4.1　充分条件与必要条件 学习目标 1.理解充分条件、必要条件的概念． 2．了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系． 3．能通过充分性、必要性解决简单的问题． 知识点　充分条件与必要条件 1．判断下列两个命题的真假，若为真命题，说明条件和结论有什么关系？ (1)若x>2，则x>1；(2)若ab＝0，则a＝0. 2．以上条件和结论的关系是否对任意一个“若p，则q”的命题都成立？ 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q p_q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件，性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 1．对充分条件、必要条件的理解 (1)充分条件：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的. “有之必成立，无之未必不成立”． (2)必要条件：必要就是必须，必不可少. “有之未必成立，无之必不成立”． 2．改变说法．“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p；“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”． 3．充分条件与必要条件不是唯一的，如x>1，x>6等都是x>0的充分条件． [例1] 判断下列各题中p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？ (1)已知x∈R，p：x>1，q：x>2； (2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3； (3)已知y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：Δ＝b2－4ac>0，q：函数图象与x轴有交点． 解：(1)方法一　由x>1 x>2，所以p不是q的充分条件． 反之，若x>2，则必有x>1，因此所以p是q的必要条件． 方法二　设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，所以B⊆A，所以p不是q的充分条件，p是q的必要条件． (2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此p不是q的充分条件；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0. 因此，p是q的必要条件． (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，当Δ>0时，其图象与x轴有交点，因此p是q的充分条件； 反之若函数的图象与x轴有交点，则Δ≥0，不一定是Δ>0，因此p不是q的必要条件． 充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法：判断p是q的什么条件，主要判断当p成立时，能否推出q成立，反过来，当q成立时，能否推出p成立．若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”. 若A⊆B，则甲是乙的充分条件．若A⊇B，则甲是乙的必要条件． [练1]从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空： (1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac<0”的________． (2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的________． 答案：(1)必要条件　(2)充分条件　解析：(1)因为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，所以Δ＝b2－4ac≥0，ac<0不一定成立；但ac<0时，Δ＝b2－4ac≥0一定成立，所以“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac<0”的必要条件． (2)△ABC≌△A′B′C′⇒△ABC∽△A′B′C′，△ABC∽△A′B′C′ △ABC≌△A′B′C′，所以“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的充分条件． 综合应用：充分条件与必要条件的应用 [例2] 是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x＞2或x＜－1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：由4x＋p＜0⇒x＜－. 当－≤－1，即p≥4时，x＜－≤－1⇒x＜－1⇒ x＞2或x＜－1. 故当p≥4时，“4x＋p＜0”是“x＞2或x＜－1”的充分条件． 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：首先根据条件的充分性和必要性找到条件构成的集合之间的关系，然后构建满足条件的不等式(组)，再进行求解． [练2]已知p：－2≤x≤10；q：1－m≤x≤1＋m(m＞0).若p是q的必要条件，求实数m的取值范围． 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0). ∵p是q的必要条件，∴q是p的充分条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}⊆{x|－2≤x≤10}， 故有 解得m≤3. 又m＞0，所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}. 1．知识清单 (1)充分条件、必要条件的概念； (2)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的