1.5.1 全称量词与存在量词（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

1.4.2　充要条件 学习目标 1.理解充要条件的意义． 2．会判断一些简单的充要条件问题． 3．能对充要条件进行证明． 知识点　充要条件 1．已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数. 请判断：p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？ 2．通过判断，你发现了什么？这种关系是否对任意一个“若p，则q”的命题只要具备上述命题的条件都成立？你能用数学语言概括出来吗？ 　如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 从集合的角度看充分、必要条件 如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的集合看成集合B，则可得下表： 关系 图示 结论 AB p是q的充分不必要条件 BA p是q的必要不充分条件 A＝B p是q的充要条件 A，B互不包含 p是q的既不充分也不必要条件 [例1] (1) “m>”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0无实数解”的(　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 (2)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的________条件． (1)B　(2)充要　解析：(1)方程x2＋x＋m＝0无实根，即Δ＝1－4m<0，解得m>.故选B． (2)a>0且b>0⇒a＋b>0且ab>0，a＋b>0且ab>0⇒a>0且b>0，故填充要． 判断充要条件的解题思路及方法 (1)思路：充要条件的判断思路同充分条件、必要条件的一样． (2)方法： ①定义法，既要判断条件对结论的充分性，又要判断条件对结论的必要性； ②推出法，使用双向推出法，不是单向推出法； ③集合法，判断两个集合互为子集，即判断两个集合相等． [练1]下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：x＝1；q：x－1＝； (2)p：－1≤x≤5；q：x≥－1且x≤5； (3)p：三角形是等边三角形；q：三角形是等腰三角形． 解：(1)当x＝1时，x－1＝成立；当x－1＝时，x＝1或x＝2.故p是q的充分不必要条件． (2)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5.故p是q的充要条件． (3)∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．故p是q的充分不必要条件． 综合应用：充要条件的探求与证明问题 [例2] 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明：必要性：∵关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， ∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0. ∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 充分性：∵a＋b＋c＝0， ∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0. 因此，方程有一个根为x＝1. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明充要条件的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． [练2]求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx， 当x＝0时，y＝0，函数图象过原点． ②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点， 所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 1．知识清单 (1)充要条件概念的理解； (2)充要条件的证明； (3)充要条件的应用． 2．方法归纳：等价转化． 3．常见误区：条件和结论辨别不清． ◎随堂演练 1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件． 2．三个数a，b，c不全为零的充要条件是(　　) A．a，b，c都不是零 B．a，b，c中至多有一个是零 C．a，b，c中只有一个为零 D．a，b，c中至少有一个不是零 D　解析：三个数a，b，c不全为零的充要条件是a，b，c中至少一个不是零，故选D． 3．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件． 答案：充要 4．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________. 答案：m＝－