1.4.2 充要条件（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

1．5　全称量词与存在量词 1．5.1　全称量词与存在量词 学习目标 1.理解全称量词、全称量词命题的定义． 2．理解存在量词、存在量词命题的定义． 3．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 知识点一　全称量词与全称量词命题 观察下面表述： (1)x>3； (2)2x＋1是整数； (3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x＋1是整数． 上面表述是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ 全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定； (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来． [例1] 判断下列命题是否为全称量词命题并判断真假． (1)对任意直角三角形的两锐角A，B，都有sin A＝cos B； (2)自然数的平方大于或等于零； (3)所有二次函数的图象的开口都向上． 解：(1)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题．真命题． (2)全称量词命题．表示为∀n∈N，n2≥0，为真命题． (3)全称量词命题．对于任意二次函数，它的图象开口都向上，为假命题． (1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别． (2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可． [练1]判断下列全称量词命题的真假． (1)对每一个无理数x，x2也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)∀x∈R，有|x＋1|>1. 解：(1)因为是无理数，但()2＝2是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题． (2)因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题． (3)当x＝0时，不满足|x＋1|>1，所以“∀x∈R，有|x＋1|>1”为假命题． 知识点二　存在量词与存在量词命题 观察下面表述： (1)2x＋1＝3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3； (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除． 上面的表述内容是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ 存在量词与存在量词命题 存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题． (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． [例2] 判断下列命题是否为存在量词命题并判断真假． (1)有的集合中不含有任何元素； (2)存在对角线不互相垂直的菱形； (3)有些整数只有两个正因数． 解：(1)含有存在量词“有的”，是存在量词命题. 由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题． (2)存在量词命题. 由于所有菱形的对角线都互相垂直．所以不存在对角线不垂直的菱形．因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题． (3)含有存在量词“有些”，是存在量词命题. 由于存在整数3只有正因数1和3.所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题． (1)判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个，至少有一个，有些，有一个，对某些，有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别． (2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中有一个元素使结论成立即可，间接法就是对集合中所有的元素使结论不成立． [练2]判断下列存在量词命题的真假． (1)有些二次方程只有一个实根； (2)某些平行四边形是菱形； (3)存在实数x1，x2，当x1<x2时，x>x. 解：(1)由于存在二次方程x2－4x＋4＝0只有一个实根，所以存在量词命题“有些二次方程只有一个实根”是真命题． (2)由于存在邻边相等的平行四边形是菱形，所以存在量词命题“某些平行四边形是菱形”是真命题． (3)当x1＝－2，x2＝1时有x>x，故“存在实数x1，x2，