1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 学习目标 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律． 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 知识点一　全称量词命题的否定 下面的命题是全称量词命题还是存在量词命题？你能写出它的否定吗？ ∀x∈R，x2＋1≥0. 全称量词命题的否定 对含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x). 全称量词命题的否定是存在量词命题． (1)全称量词命题否定的口诀：“改变量词，否定结论”； (2)一个命题和它的否定只能一真一假； (3)常见词语的否定 正面词语 等于 大于(>) 小于(<) 是 都是 否定 不等于 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是 正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有n个 否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n＋1个 [例1] 写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)∀a∈R，方程x2＋ax＋2＝0都有实数根； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解． 解：(1)“任何一个平行四边形的对边都平行”的否定为“存在一个平行四边形，其对边不平行”． (2)“∀a∈R，方程x2＋ax＋2＝0都有实数根”的否定为“∃a∈R，方程x2＋ax＋2＝0无实根”． (3)“∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解”的否定为“∃a，b∈R，方程ax＝b的解不唯一或不存在”． 1．对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2．全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可． [练1]判断下列命题的真假，并写出它们的否定． (1)对任意x∈R，x3－x2＋1≤0； (2)所有能被5整除的整数都是奇数； (3)对任意的x∈Q，x2＋x＋1都是有理数． 解：(1)当x＝2时，23－22＋1＝5＞0，故(1)是假命题． 命题的否定：存在x∈R，x3－x2＋1＞0. (2)10能被5整除，10是偶数，故(2)是假命题． 命题的否定：存在一个能被5整除的整数不是奇数． (3)有理数经过加、减、乘运算后仍是有理数，故(3)是真命题． 命题的否定：存在x∈Q，x2＋x＋1不是有理数． 知识点二　存在量词命题的否定 下列各命题是全称量词命题还是存在量词命题？你能写出它们的否定吗？ (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x∈R，x2＋1<0. 存在量词命题的否定 对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x). 存在量词命题的否定是全称量词命题． 存在量词命题否定的口诀：“改变量词，否定结论”． [例2] 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)有一个奇数不能被3整除； (2)有些三角形的三个内角都是60°； (3)∃x∈R，使得|x＋3|≤3. 解：(1)中命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．这个命题是假命题，如5是奇数，但5不能被3整除． (2)中命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”．这个命题是假命题，如等边三角形的三个内角都是60°. (3)中命题的否定为“∀x∈R，有|x＋3|>3”．这个命题为假命题，如x＝0时，不满足|x＋3|>3. 1．对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 2．存在量词命题否定后的真假判断 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． 综合应用：全称量词命题与存在量词命题的综合 [例3] 已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．a<1 B．a<1且a≠0 C．a≤1 D．a≤1且a≠0 C　解析：∵命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0是假命题，∴命题p的否定“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0是真命题”，∴当a＝0时，x＝－，命题p的否定为真，当a≠0时，Δ＝4－4a≥0，解得a≤1且a≠0.综上所述a的取值范围是a≤1.故选C． 求参数的范围时，从真命题的角度考虑比较好列关系式，所以如果已知条件是一个存在量词命题且是假命题，可以写出该命题的否定，利用假命题的否定是真命题求得参数