第24讲：基本不等式的应用（二）-【暑假辅导】2023年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019）

第二十四讲：基本不等式的应用（二） 【教学目标】 1．掌握对应的基本不等式求解最值； 2．通过分析实际问题，建立函数方程，通过基本不等式求解最优解. 【基础知识】 一、基本不等式：（1）；（2）. 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 二、恒成立与能成立问题 若恒成立，则；若恒成立，则. 若有解，则；若有解，则. 【题型目录】 考点一：基本不等式求参（恒成立与能成立问题） 考点二：基本不等式实际应用（一） 考点三：基本不等式拓展 【考点剖析】 考点一：基本不等式求参（恒成立与能成立问题） 例1．若对，，有恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式训练1．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式训练2．若时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式训练3．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 考点二：基本不等式实际应用（一） 例1．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本． (1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式； (2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？ 变式训练1．某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x米，写出泳池的总造价，问泳池的长为多少米时，可使总造价最低，并求出泳池的最低造价． 变式训练2．常州在中国工业大奖和工业强基工程项目双双位列全国地级市第一，已知常州某零件装备生产企业2023年的固定成本为2500万元，每生产100x件零件，需另投资(单位：万元)，经计算与市场评估得，调查发现，零件装备售价5万元，且全年内生产的零件装备当年能全部销售完(其中). (1)预测出2023年的利润(单位：万元)的函数表达式(利润=销售额—成本)； (2)当2023年装备产量为多少时，常州该企业所获利润最大？并求出最大利润. 变式训练3．如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设． (1)若，求x的取值范围； (2)设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值． 考点三：基本不等式拓展 例1．均值不等式可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为：. (1)证明不等式. (2)上面给出的均值不等式链是二元形式，其中指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数，并尝试用分析法证明猜想.（个数的平方平均数为） 变式训练1．根据高一课本基本不等式章节知识所学，我们知道基本不等式，那么类比可得，那么根据上述结论，则的最大值为________. 变式训练2．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ） A．16 B．25 C．36 D．49 变式训练3．我们学习了二元基本不等式：设,,,当且仅当时，等号成立利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值. （1）对于三元基本不等式请猜想：设当且仅当时，等号成立（把横线补全）. (2)利用（1）猜想的三元基本不等式证明： 设求证： (3)利用（1）猜想的三元基本不等式求最值： 设求的最大值. 【课堂小结】 1．知识清单： (1)利用基本不等式求最值． (2)利用基本不等式求解取值范围． (3)实际应用问题，