专题强化2 不等式恒成立、能成立问题-【初升高暑假衔接】2023-2024学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

强化专题2　不等式恒成立、能成立问题 【方法技巧】 在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养． 一、“Δ”法解决恒成立问题 (1)如图①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔ymin>0⇔ (2)如图②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴下方⇔ymax<0⇔ 二、数形结合法解决恒成立问题 结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题． 三、分离参数法解决恒成立问题 通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题． 四、主参换位法解决恒成立问题 转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解． 五、利用图象解决能成立问题 结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决． 六、转化为函数的最值解决能成立问题 能成立问题可以转化为m>ymin或m<ymax的形式，从而求y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围． 【题型目录】 一、“Δ”法解决恒成立问题 二、数形结合法解决恒成立问题 三、分离参数法解决恒成立问题 四、主参换位法解决恒成立问题 五、利用图象解决能成立问题 六、转化为函数的最值解决能成立问题 【例题详解】 一、“Δ”法解决恒成立问题 1．不等式 的解集为R，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k满足（    ） A． B． C． D． 3．（多选）不等式对任意的恒成立，则（    ） A． B． C． D． 4．若“，”是假命题，则实数的取值范围是______． 二、数形结合法解决恒成立问题 1．（多选）若“，都有”是真命题，则实数可能的值是（   ） A．1 B． C．3 D． 2．已知不等式的解集，若对任意，不等式恒成立．则的取值范围是__________． 3．当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围． 三、分离参数法解决恒成立问题 1．对任意的，恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．已知命题p：“，”为真命题，则实数a的最大值是___． 3．写出使不等式恒成立的一个实数的值__________． 4．已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是________. 5．函数，若命题“”是假命题，则实数a的取值范围为___________． 四、主参换位法解决恒成立问题 1．若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若不等式对任意成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 五、利用图象解决能成立问题 1．命题“”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 2．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若命题，是真命题，则实数a的取值范围为______. 4．若命题“，使”是真命题，则实数的取值范围为______． 六、转化为函数的最值解决能成立问题 1．已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若命题“”为假命题，则实数的取值范围___________． 4．若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是_________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $ 强化专题2　不等式恒成立、能成立问题 【方法技巧】 在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养． 一、“Δ”法解决恒成立问题 (1)如图①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔ymin>0⇔ (2)如图②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax