第23讲：基本不等式的应用（一）-【暑假辅导】2023年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019）

第二十三讲：基本不等式的应用（一） 【教学目标】 1．掌握对应的基本不等式求解最值 2．掌握公式，凑项，凑系数，分离，常数代换，换元，平方等方法求解最值 【基础知识】 基本不等式：（1）；（2）. 基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 【题型目录】 考点一：公式直接应用 考点二：凑项 考点三：凑系数 考点四：分离 考点五：常数代换（1代换） 考点六：平方 考点七：消元 考点八：构建目标不等式 【考点剖析】 考点一：公式直接应用 基本不等式：积定和最小，和定积最大. 例1．已知，则的最大值为（ ） A． B． C．1 D．2 变式训练1．已知，且，则的最大值为（ ） A．36 B．25 C．16 D．9 变式训练2．已知，且，则的最小值为（ ） A． B． C．1 D．2 变式训练3．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 考点二：凑项 凑项：凑出乘积为定值的值. 例2．函数有（ ） A．最大值 B．最小值 C．最大值4 D．最小值4 变式训练1．函数在上的最小值是（ ） A．-2 B．1 C．2 D．3 变式训练2．已知实数x满足，则的最大值为（ ） A． B．0 C．4 D．8 变式训练3．的最小值等于（ ） A．3 B． C．2 D．无最小值 考点三：凑系数 凑系数：凑出和为定值的值. 例3．已知，则当取最大值时，的值为（ ） A． B． C． D． 变式训练1．若，则取最大值时x的值是（ ） A． B． C． D． 变式训练2．已知正数，满足，则的最大值为（ ） A．2 B．1 C． D． 变式训练3．设，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D． 考点四：分离 例4．函数的最小值是（ ） A． B．3 C．6 D．12 变式训练1．当时，函数的最小值为（ ） A． B． C． D．4 变式训练2．已知正实数x，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 变式训练3．若函数在处取最小值，则（ ） A． B．2 C．4 D．6 考点五：常数代换（1代换） 构造一个条件为的等式，目标函数乘，化简求解. 例5．若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 变式训练1．若正实数，满足．则的最小值为（ ） A．12 B．25 C．27 D．36 变式训练2．设为正实数，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 变式训练3．已知正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 考点六：平方 例6．已知为正实数，，求的最大值． 变式训练1．若，则函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 变式训练2．设正数，满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 变式训练3．已知，且，则的最大值为（ ） A． B． C．3 D．4 考点七：消元 例7．已知，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 变式训练1．已知正数满足，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． 变式训练2．若，，且，则的最小值是（ ） A．5 B．8 C．13 D．16 变式训练3．设，为正实数，若，则的最小值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 考点八：构建目标不等式 例8．已知，则的最大值为（ ） A．1 B．2 C． D．4 变式训练1．已知，，且，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C． D． 变式训练2．已知，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式训练3．已知正数、满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【课堂小结】 1．知识清单： (1)利用基本不等式求最值． (2)利用基本不等式求解取值范围． (3)基本不等式的综合应用． 2．方法归纳：配凑法、常值代换法． 3．常见误区：忽略应用基本不等式求最值的条件(一正、二定、三相等)． 【课后作业】 1、若a，b为实数，且，则的最小值为（ ） A． B． C．3 D．2 2