27.1.2 圆的对称性 课件2022-2023学年 华东师大版数学九年级下册

华师大版数学 九年级下册 圆的对称性 小猪宝宝今天要过生日了，怎样把蛋糕平均分成八块，你会分吗？ 新知讲解 1、什么是轴对称图形？我们在前面学过哪些轴对称图形？ 2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴。 1、什么是轴对称图形？我们在前面学过哪些轴对称图形？ 2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？ 活动探究：自学教材第37至第38页，找出并理解。 （小组讨论，3min） （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ （2）你是怎么得出结论的 我们已探索发现圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心。 将图27.1.3中的扇形着色部分绕点，逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形你能发现什么？ 图27.1.3 如图27.1.4，扇形AOB旋转到扇形A'OB'的位置,我们可以发现在旋转过程中∠AOB= ∠A'OB'， = AB=A'B' 图27.1.4 由于圆心角∠AOB或弧AB或弦AB 确定了扇形AOB的大小。所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等。 由于圆心角∠AOB或弧AB或弦AB 确定了扇形AOB的大小。在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等． ①∠AOB=∠A'OB' ②= ③AB=A'B' 弧、弦与圆心角的关系定理 同样，也可以得到： 在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。 弧、弦与圆心角的关系结构图 = （等式的性质） 如图，在⊙O中， =， ,求∠2的大小。 解： ∵ = （已知） ∴ ∴ = ∴ ∠1=∠2=45° （在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等） 我们已探索发现圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 由此我们可以如图 27.1.6那样，十分简捷地将一个 圆2等分、4 等分、8 等分。 试试看，你还可以将圆几等分？ 图 27.1.6 活动探究：自学教材第39至第40页，找出并理解。 （小组讨论，3min） （1）如图27.1.7，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为点P，再将纸片沿着直径CD对折，分别比较AP与BP， 与 ，你能发现什么结论？ 图27.1.7 已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为P。求证：AP＝BP， ， 。 C . O A P B D 证明：连结CA、CB、OA、OB，则OA=OB，即△AOB是等腰三角形。 ∵CD⊥AB，∴AP=BP。 又∵CP=CP， ∴Rt△APC≌Rt△BPC ∴ ∴AC=BC（在同一个圆中，如果弦相等，那么它们 所对的弧相等） 由此易得 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 （1）过圆心 （直径） （2）垂直于弦 ｝ ｛ （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 类似于上面的证明，我们还可以得到： 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 推论2：平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。 你能说明其中的理由吗? 1、 如图，在⊙O中， ,∠ACB=60°, 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. · A B C O 新知讲解 证明： ∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°， ∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. · A B C O ∵ ， 本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键。 2、已知：⊙O中弦AB∥CD，求证： 证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则， （垂直平分弦的直径平分弦所对的弦） ∴ . M C D A B O N 如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，那么成立吗？CD=2AB 也成立吗？请说明理由；如不是，那它们之间的关系又是什么？ A B C D E O 答： 成立，CD=2AB不成立.不是，取 的中点E,连接OE.那∠AOB=∠COE=∠DOE,所以 ， ，弦AB=CE=DE,在△CDE 中，CE+DE>CD,即CD＜2AB. A B