26.2.6 二次函数的应用 课件2022-2023学年华东师大版数学九年级下册

华师大版数学 九年级下册 二次函数的应用 亲爱的同学们，上节课我们学习了y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质，请同学们回忆一下当a＞0， a＜0时函数的具体性质？ 新知讲解 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 由a,b和c的符号确定 由a,b和c的符号确定 向上 向下 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 我们已经研究了图y=ax2+bx+c，现在让我们应用二次函数的有关知识去解决本章第1节中提出的两个问题。 实际上是需要求出自变量x为何值时，二 次函数 y=-2x2+20x (0＜x＜10)取得最大值。 将这个函数关系式配方，得 y=-2(x-5)2+50 显然，这个函数的图象开口向下 ，顶点坐标是 （5,50），这就是说，当x=5时，函数取得最大值， 最大值y=50 这时,AB=5(m),BC=20-2x=10(m). 因此, 当围成的花圃与墙垂直的一边长5m, 与墙平行的一边长10m时,花圃的面积最大,最大面积为50m2 试从函数表达式来说明：当x=5时，函数取得最大值的道理。 实际上是需要求出自变量x为何值时 ， 二次函数 y=-100x2+100x+200(0≤x≤2) 取得最大值。 请同学们自己完成这个问题的解答。 y=-100x2+100x+200 =-100(x2-x-2) =-100[(x- ) 2- ] =-100(x- ) 2+225 当x= 时，取得最大值， 最大值为225。 例5：用长为6m 的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框,宽各为多少时,它的透光面积最大,最大透光面积是多少?（铝合金型材宽度不计） 解：设矩形窗框的宽为xm，则长为 m。 这里应有x＞0.且 ＞0 ，故0＜x＜2。 矩形窗框的透光面积y与x 之间的函数关系式是 即 配方得， 所以当x=1时，函数取得最大值 最大值y=1.5 x=1满足0＜x＜2，这时 因此，所做矩形窗框的宽为1m、长为1.5m时，它的透光面积最大，最大面积是1.5m2 先分析问题中的数量关系,列出函数关系式,再研究所得的函数,解决问题。 （1）如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，另外三边围栏材料的总长为60米，怎样围才能使车棚的面积最大? 解:(1)设长方形的面积为 ,自行车棚的宽为xm, 由题意得:S=x(60-2x)=-2x2+60x, 即S=-2（x-15）2+450 ∴当x=15时，车棚的面积最大， 答:让与墙垂直的边等于15m，与墙平行的边等于30m车棚的面积最大; 本题考查了二次函数在实际生活中的应用,及二次函数求最大值问题,利用配方法求最大值是常用的方法。 （2） 在（1）中，如果可利用的墙壁长为25米，怎样围才能使车棚的面积最大? 题（2）与题 （1）的解答完全相同吗? 试比较并作出正确的解答，和同学交流。 (2)设长方形的面积为Sm2 ,自行车棚的长(与墙平行的边)为ym, 由题意得: , 即: , ∵a= ＜0 ∴ 当y≤30时,S随y的增大而增大, 当y=25时,车棚的面积最大, 答:让与墙垂直的边等于17.5m,与墙平行的边等于30m时车棚的面积最大;题(2)与题(1)的解答不完全相同,题(2)要考虑墙的课利用长度,题(1)不用考虑。 二次函数求解问题的基本步骤: 第一步设自变量； 第二步建立函数的解析式； 第三步并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； 第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值 (注意：在自变量的取值范围内） 已知：用长为12cm的铁丝围成一个矩形，一边长为xcm.,面积为ycm2,问何时矩形的面积最大？ 解： ∵周长为12cm, 一边长为xcm , ∴ 另一边为（6－x）cm ∴ y＝x（6－x）＝－x2＋6x （0< x<6） ＝－(x－3) 2＋9 ∵ a＝－1<0, ∴ y有最大值 当x＝3cm时，y最大值＝9 cm2，此时矩形的另一边也为3cm 答：矩形的两边都是3c