26.2.6 二次函数的应用 教案2022-2023学年华东师大版数学九年级下册

26.2.6 二次函数的应用 教案 课题 26.2.6 二次函数的应用 单元 第26章 学科 数学 年级 九年级 学习 目标 1、熟练说出二次函数y=ax2+bx+c 的函数图像和性质。 2、掌握并能够正确运用二次函数解决实际问题。 重点 正确运用二次函数解决实际问题。 难点 正确运用二次函数解决实际问题。 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 亲爱的同学们，上节课我们学习了y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质，请同学们回忆一下当a＞0， a＜0时函数的具体性质？ 复习之前所学函数内容，学生观察并思考，引入本节课所学内容。学生回忆上节课内容，回答老师问题。 通回忆学过的二次函数求解内容，吸引学生的注意力，启发引导学生探索知识的形成过程，培养了学生数学转化的思想意识． 讲授新课 活动探究：思考以下问题，动手画一画。 （小组讨论，3min） 我们已经研究了图y=ax2+bx+c，现在让我们应用二次函数的有关知识去解决本章第1节中提出的两个问题。 问题1 实际上是需要求出自变量x为何值时，二 次函数 y=-2x2+20x (0＜x＜10)取得最大值。 将这个函数关系式配方，得 y=-2(x-5)2+50 显然，这个函数的图象开口向下 ，顶点坐标是 （5,50），这就是说，当x=5时，函数取得最大值， 最大值y=50 这时,AB=5(m),BC=20-2x=10(m). 因此, 当围成的花圃与墙垂直的一边长5m, 与墙平行的一边长10m时,花圃的面积最大,最大面积为50m2 试从函数表达式来说明：当x=5时，函数取得最大值的道理。 问题2 实际上是需要求出自变量x为何值时 ， 二次函数 y=-100x2+100x+200(0≤x≤2) 取得最大值。 请同学们自己完成这个问题的解答。 当x=时，取得最大值， 最大值为225。 例5：用长为6m 的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框,宽各为多少时,它的透光面积最大,最大透光面积是多少?（铝合金型材宽度不计） 先分析问题中的数量关系,列出函数关系式,再研究所得的函数,解决问题。 试一试 解:(1)设长方形的面积为 ,自行车棚的宽为xm, 由题意得:S=x(60-2x)=-2x2+60x, 即S=-2（x-15）2+450 ∴当x=15时，车棚的面积最大， 答:让与墙垂直的边等于15m，与墙平行的边等于30m车棚的面积最大; 本题考查了二次函数在实际生活中的应用,及二次函数求最大值问题,利用配方法求最大值是常用的方法。 （2） 在（1）中，如果可利用的墙壁长为25米，怎样围才能使车棚的面积最大? 题（2）与题 （1）的解答完全相同吗? 试比较并作出正确的解答，和同学交流。 答:让与墙垂直的边等于17.5m,与墙平行的边等于30m时车棚的面积最大;题(2)与题(1)的解答不完全相同,题(2)要考虑墙的课利用长度,题(1)不用考虑。 二次函数求解问题的基本步骤: 第一步设自变量； 第二步建立函数的解析式； 第三步并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； 第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值 (注意：在自变量的取值范围内） 课堂练习 已知：用长为12cm的铁丝围成一个矩形，一边长为xcm.,面积为ycm2,问何时矩形的面积最大？ 解： ∵周长为12cm, 一边长为xcm , ∴ 另一边为（6－x）cm ∴ y＝x（6－x）＝－x2＋6x （0< x<6） ＝－(x－3) 2＋9 ∵ a＝－1<0, ∴ y有最大值 当x＝3cm时，y最大值＝9 cm2，此时矩形的另一边也为3cm 答：矩形的两边都是3cm，即为正方形时，矩形的面积最大。 中考链接 小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）。花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？ ( D A H E G F C B ) 解：设AD=x,则AB=32-4x+3=35-4x 从而S=x(35-4x)-x=-4x2+34x ∵AB≤10 ∴6.25≤x S=-4x2+34x，对称轴x=4.25,开口朝下 ∴当x≥4.25时S随x的增大而减小 故当x=6.25时，S取最大值56.25 巩固练习 通过自主探索，使学生初步体会二次函数的实际