1.2　矩形的性质与判定（三）　课件　2023-2024学年北师大版九年级数学上册　

第一章　特殊平行四边形 矩形的性质与判定（三） 1 A. AC＝BD B. AC⊥BD C. AD＝BC D. AB＝AD （限时3分钟） 温故知新 1. 如图S1－6－1，在▱ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定▱ABCD是矩形的是（ ） 图S1－6－1 A 返回目录 2. 如图S1－6－2，四边形ABCD的对角线为AC，BD，且AC＝BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（　B　） 图S1－6－2 B A. BA＝BC B. AC，BD互相平分 C. AC⊥BD D. AB∥CD 返回目录 知识重点 （1）矩形的四个角都是 　直角　⁠；  （2）矩形的对角线 　相等　⁠；  （3）有三个角是 　直角　⁠的四边形是矩形；  （4）对角线 　相等　⁠的平行四边形是矩形；  （5）有一个角是 　直角　⁠的平行四边形是矩形.  直角　 相等　 直角　 相等　 直角　 返回目录 对点范例 3. 如图S1－6－3，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为边BC上一点，且EC＝AD，连接AC，AE. 图S1－6－3 （1）求证：四边形AECD是矩形； （1）证明：∵AD∥BC，EC＝AD， ∴四边形AECD是平行四边形.又∵∠D＝90°， ∴四边形AECD是矩形. 返回目录 （2）若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求AE的长. （2）解：∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠DAC. ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB. ∴∠ACB＝∠BAC.∴BC＝AB＝5. ∵EC＝2，∴BE＝BC－EC＝3. ∵四边形AECD是矩形，∴∠AEB＝∠AEC＝90°. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 AE＝＝＝4. 图S1－6－3 返回目录 课本母题 知识点1　矩形相关角度与边长的计算 【例1】（课本P16例3改编）如图S1－6－4，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，已知AD＝4，EB＝OB，求AE的长. 图S1－6－4 返回目录 思路点拨：由在矩形ABCD中，AE⊥BD，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠ABO的度数，再求出∠ADE的度数，又由AD＝4，即可求得AE的长. 图S1－6－4 返回目录 解：在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∴AC＝BD，OA＝AC，OB＝BD. ∴OA＝OB.∵EB＝OB，AE⊥BD， ∴OA＝AB，即OA＝AB＝OB. ∴△OAB是等边三角形，即∠ABO＝60°. 在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠ADB＝30°. 在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠ADE＝30°， ∴AE＝AD＝2. 图S1－6－4 返回目录 母题变式 4. 如图S1－6－5，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于O，AE⊥BD，垂足为E，且BE∶ED＝1∶3，求AE的长. 图S1－6－5 返回目录 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，AC＝BD，OB＝OD＝BD＝AO. ∵BE∶ED＝1∶3，∴BE＝OE.又∵AE⊥BD， ∴AB＝AO，∠AEB＝90°. ∴OB＝AO＝AB＝2. ∴BE＝OB＝.在Rt△ABE中， 由勾股定理，得AE＝＝＝3. 返回目录 【例2】（课本P17例4改编）如图S1－6－6，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E， 连接DE交AC于点F. 图S1－6－6 思路点拨：（1）有三个角是直角的四边形是矩形； （2）根据DF与AB的位置关系，结合矩形ADCE的性质，即可得到它们的关系. 课本母题 知识点2　矩形的性质与判定综合运用 返回目录 （1）求证：四边形ADCE为矩形； （1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.∴∠ADC＝90°. ∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN＝∠CAN. ∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝×180°＝90°. ∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°.∴四边形ADCE为矩形. 返回目录 （2）解：DF∥AB，DF＝AB. 证明如下：∵四边形ADCE为矩形， ∴AF＝CF. 又∵BD＝CD， ∴DF是△ABC的中位线. ∴DF∥AB，DF＝AB. （2）线段DF与AB有怎样的关系？证明你的结论. 图S1－6－6 返回目录 母题变式 5. 如图S1－6－7，在△ABC中，O是AC的中点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交△ABC的外角平分线于点F. 图S1－6－7 返回目录 （1）求证：四边形CEAF是矩形； （1）证明：∵EF∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE. ∵CE平分∠ACB