1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第2课时）（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

选修一《第一章 空间向量与立体几何》 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第2课时 用空间向量研究夹角问题 空间角的向量求法——①线线角 问题1：若直线a与b的方向向量分别为，，则直线a与b所成角θ与向量夹角<, >的区别与联系是什么？ 判断：两直线所成角就是它们的方向向量所成角。 本质：两直线所成角就是它们的方向向量所成角或其补角。 空间角的向量求法——②线面角 问题2：若直线a的方向向量分别为，平面α的法向量为，则直线a与平面α所成角θ与向量夹角<, >的区别与联系是什么？ 空间角的向量求法——③面面角 (1)二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面. ①记作二面角α-l-β、α-AB-β、P-l-Q、C-AB-D ②二面角θ的范围是[0，π] (2)平面与平面的夹角的定义：平面α与平面β相交所形成的4个二面角中，把其中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 小结：空间角的向量求法 设直线a与b的方向向量分别为，，平面α与平面β的法向量分别为， 求法：先求两向量夹角余弦值→设空间角为θ→下结论(取绝对值or定正负) 巩固1：求异面直线所成角 1.在棱长为1的正四面体ABCD中，M、N分别为BC、AD的中点， 求直线AM和CN所成角的余弦值. 2.如图，三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=2，CD=，∠BAD=90°，∠BAC=60°，求直线AB与CD所成角. 3.三棱锥OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB=60°，∠AOB=90°，OB=OO1=2，OB=，求直线A1B和AO1所成角的余弦值. 求直线A1B1和AO1所成角的余弦值. 基底法 基底法 基底法 几何法 巩固1：求异面直线所成角 2.如图，三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=2，CD=，∠BAD=90°，∠BAC=60°，求直线AB与CD所成角. 巩固1：求异面直线所成角 3.三棱锥OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB=60°，∠AOB=90°，OB=OO1=2，OA=，求直线A1B和AO1所成角的余弦值. P41 P36-例7.在棱长为1的正四面体ABCD中，M、N分别为BC、AD的中点， 求直线AM和CN所成角的余弦值. D 平移法：定角∠EMC，求三边定型，求角(余弦定理) 向量基底法：求基底的夹角余弦值 E 向量基底法 巩固2：求线面角 4.正三棱柱ABC—A1B1C1中的底面边长为a，侧棱长为a，求直线AC1和平面ABB1A1所成角. P38-2.APA,PB,PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是( ) 巩固2：求线面角 5.四棱锥P-ABC中，底面为直角梯形，AD//BC，∠BAD=90°，PA⊥平面BACD，PA=AD=AB=2BC=2，M, N分别为PC, PB的中点。 (1)求证：PB⊥DM； (2)求直线BD和平面ADMN所成角. 坐标法 公式法or几何法 5.四棱锥P-ABC中，底面为直角梯形，AD//BC，∠BAD=90°，PA⊥平面BACD，PA=AD=AB=2BC=2，M, N分别为PC, PB的中点。 (1)求证：PB⊥DM； (2)求直线BD和平面ADMN所成角. 如果用向量法，则可省去找角的步骤---这也是大家最薄弱的步骤 P43 巩固2：求二面角 6.在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角. 几何法 公式法 巩固3：求二面角 P49-16.棱长为a的正方体OABC-OʹAʹBʹCʹ中，E, F分别是棱AB, BC上的动点，且AE=BF. (1)求证：AʹF⊥CʹE； (2)当三棱锥Bʹ-BEF的体积取得最大值时，求平面BʹEF与平面BEF的夹角正切值. P49-16.棱长为a的正方体OABC-OʹAʹBʹCʹ中，E, F分别是棱AB, BC上的动点，且AE=BF. (2)当三棱锥Bʹ-BEF的体积取得最大值时，求平面BʹEF与平面BEF的夹角正切值. 如果用向量法，则可省去找角的步骤---这也是大家最薄弱的步骤 P37-38 P37-38 P41 P49 P39-40 几何法 向量化 公式法 几何法 向量化 棱长为2的正方体中ABCD－A1B1C1D1，E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点，点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)． (1)当λ＝1时，求证