1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（含3课时）（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

选修一《第一章 空间向量与立体几何》 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、线、面的向量表示 1．用向量表示空间中的点、直线、平面 2. 理解直线的方向向量，平面的法向量的概念 3．会用待定系数法求平面的法向量 第一课时学习内容 空间向量与点线面的联系 平行 垂直 模长 夹角 空间 向量 点线面关系 平行 垂直 距离 两线夹角 向量的运算 用向量表示空间中的点、直线和平面 点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要建立空间向量与几何要素的对应关系： 立体几何 点 线 面 空间向量 ？ ？ ？ 新知1：用向量表示空间中的点/线/面 1. 空间一点P： 2. 直线上一点：P为直线BC1 3. 平面内一点：P为平面BCC1B1上一点 4. 直线的方向向量：在直线l上取( t 也是直线l的方向向量) 5. 平面的法向量：若l⊥α，则l的方向向量称为平面的法向量。 (t 也是平面的法向量；法向量常用，，，…表示) l A P 【要点1】求直线的方向向量 [练习1]如图，棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系Axyz，则直线DD1的方向向量的坐标为________，直线BC1的方向向量的坐标为________，直线CD1的一个方向向量的坐标为________ (0,0,2) (0,0,1) (0,2,2) (0,1,1) C(2,2,0) D1(0,2,2) (-2,0,2) [练习2]若直线l过点A(-1,3,4)，B(1,2,1)，则直线l的一个方向向量可以是(　　) D 若是直线l的方向向量， 则t(t∈R)也是直线l的方向向量. ①以原点为起点的相等向量的坐标； ②向量的终点减去起点坐标 【要点2】求平面的法向量 P28-例1.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1 =2，M为AB中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系， （1）求平面BCC1B1的一个法向量． （2）求平面MCA1的一个法向量． 设法向量 找两向量 列方程组 赋非零值 下结论 定义法 待定系数法 ①定义法(找线面垂直) ②待定系数法(设/列/赋) 【要点2】求平面的法向量 [练习3]如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，求平面PAD和平面EDB的法向量. 设法向量 找两向量 列方程组 赋非零值 下结论 建系 x y z 定义法 待定系数法 ①定义法(找线面垂直) ②待定系数法(设/列/赋) 选修一《第一章 空间向量与立体几何》 第2课时 空间中直线、平面的平行 1．用直线的方向向量和平面的法向量的关系表示空间中的线线平行/垂直、线面平行/垂直、面面平行/垂直; 2.用向量坐标法或基底法证明线线平行、线面平行、面面平行问题. 第二课时学习内容 空间中平行和垂直关系的向量表示 空间中直线的方向向量、平面的法向量是确定空间中的直线、平面的关键量，能否用直线的方向向量、平面的法向量来刻画直线、平面的平行关系？ 设，是l1，l2，l的方向向量，是平面α，β的法向量， 思考1：如何用直线的方向向量的关系表示两条直线平行？ 思考2：如何由直线的方向向量与平面的法向量的关系表示直线与平面平行？ 思考3：如何用平面的法向量的关系表平面与平面的平行？ l1 l2 l 新知2：空间中直线、平面平行的向量表示 设，是l1，l2，l的方向向量，是平面α，β的法向量， l1 l2 l l l1 l2 【要点3.1】向量法证明线线平行 【例】棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中， (1)若点P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点，求证：PQ∥RS. 证明： 以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 证线线平行：证明两直线的方向向量共线(找λ). x y z 基底法 坐标法 P42-3 【要点3.2】向量法证明线面平行 【例】棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中， (2)若点M,N分别是BC1,CC1的中点，求证：MN∥平面A1BD. x y z 基底法 坐标法 【要点3.2】向量法证明线面平行 【例】棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中， (2)若点M,N分别是BC1,CC1的中点，求证：MN∥平面A1BD. x y z 思考P42-4：一题多法 【要点3.3】向量法证明面面平行 【例】棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中， (3)若点G,K分别是DD1,CC1的中点，O为底面ABCD的中