1.2 空间向量基本定理（教学课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

选修一《第一章 空间向量与立体几何》 1.2 空间向量基本定理 回顾：平面向量基本定理 若 , 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量， 有且只有一对实数x，y，使＝x＋y． 若, 不共线，则把{，}叫做表示这一平面内所有向量的基底． 平面内任一向量可用2个不共线的向量表示 空间中任一向量可用3个不共面的向量表示吗？ 类比推广 空间中任一向量可用3个两两垂直且不共面的向量表示吗？ 引入：空间向量的分解与表示 如图，设，，是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O．对于任意一个空间向量＝，设 为 在，所确定的平面上的投影向量，则＝＋．又 ，共线，故存在唯一的实数z，使＝z，故＝＋z． 在，所确定的平面上，由平面向量基本定理知，存在唯一的有序实数对 (x，y)，使得＝x＋y ．从而 ＝＋z＝x＋y＋z． 引入：空间向量的分解与表示 如果 i，j，k 是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 p＝x i＋y j＋z k．我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量。 在空间中，如果用任意三个不共面的向量 a，b，c 代替三个两两垂直的向量 i，j，k，你能得出类似的结论吗？ 探究 新知1.空间向量基本定理 定理：如果三个向量 ，，不共面，那么对任意一个空间向量， 存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得＝x＋y＋z． 把{，，}叫做空间的一个基底，，，叫做基向量． ①空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． ②单位正交基底{}：基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1. ③把空间向量进行正交分解：把任意一个空间向量分解为三个两两垂直的向量， 即＝x＋y＋z． 以同起点的向量做平行四边形、平行六面体，则和向量为面对角线，体对角线 【基础巩固】基底的理解 P12-练习1．已知{，，}是空间的一个基底，从中选哪一个向量，一定可以与向量=构成空间的另一个基底？ P15-2．若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( ) A.+，， B.，+， C.+，， D.+，++， 若三个向量中存在一个向量可用另外两个向量表示，则三向量共面，不可构成基底. 以同起点的向量做平行四边形、平行六面体，则和向量为面对角线，体对角线 【升级巩固】基底的判断 假设三个向量共面，建立x,y的方程组，若有解，则不可构成基底；若无解，则可构成基底. 若三个向量中存在一个向量可用另外两个向量表示，则三向量共面，不可构成基底. 以同起点的向量做平行四边形、平行六面体，则和向量为面对角线，体对角线 小结：基底的判断 以同起点的向量做平行四边形、平行六面体，则和向量为面对角线，体对角线 【基底法的应用1】表示空间向量 P12-例1.如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且 MN＝ON，AP＝AN，用向量，，表示． 同类题：P15-3、4 以三角形法则或平行四边形法则为切入点，建立目标向量与基底的关系. 以同起点的向量做平行四边形、平行六面体，则和向量为面对角线，体对角线 【基底法的应用1】表示空间向量 P12-练习3.如图，已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，点G是侧面BB′C′C 的中心，且＝a，＝b，＝c ． （1）{a，b，c} 是否构成空间的一个基底？ （2）如果 {a，b，c} 构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量： ，，，． 是 以同起点的向量做平行四边形、平行六面体，则和向量为面对角线，体对角线 【基底法的应用2】求线段长度(向量的模) 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA=2，且PA与AB,AD的夹角均为60°，点M是PC的中点，求BM的长. 以同起点的向量做平行四边形、平行六面体，则和向量为面对角线，体对角线 【基底法的应用3】求异面直线所成角(向量夹角) P13-例3.如图，正方体 ABCD－A′B′C′D′ 的棱长为 1，E，F，G 分别为 C′D′，A′D′，D′D 的中点．求CE与AG所成角的余弦值． 同类：P14-2 P15-7(2) 以同起点的向量做平行四边形、平行六面体，则和向量为面对角线，体对角线 【基底法的应用4】证线线垂直(向量数量积为0) P13-例2.如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N 分别为 D1C1，C1B1 的中点．求证