1.1菱形的性质与判定（二）课件2023-2024学年北师大版九年级数学上册

第一章 特殊平行四边形 菱形的性质与判定(二) ·上册· 1 A. AB=AD B. AC⊥BD C. AC=BD D. ∠DAC=∠BAC 1. (2022河池)如图S1-2-1,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是( ) (限时3分钟) 温故知新 C 2. (2022河南)如图S1-2-2,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点.若OE=3,则菱形ABCD的周长为( C ) 图S1-2-2 C A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 知识重点 A. 对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形. 互相垂直 对点范例 3. 要使▱ABCD成为菱形,下列添加条件正确的是( B ) A. AB⊥BC B. AC⊥BD C. AC=BD D. ∠ABC=∠CDA B 知识重点 B. 四边 相等 的四边形是菱形. 相等 对点范例 4. 下列条件中,能判断四边形ABCD是菱形的是( D ) A. AC=BD B. AC⊥BD C. AC与BD互相平分 D. AB=BC=CD=AD D 课本母题 知识点1 菱形的判定(对角线互相垂直+平行四边形) 【例1】(课本P7习题)已知:如图S1-2-3,在▱ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与AD,AC,BC相交于点E,O,F.求证:四边形AFCE是菱形. 图S1-2-3 思路点拨:先证明四边形AFCE为平行四边形,再由EF垂直平分AC可得四边形AFCE是菱形. 证明:∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD∥BC.∴∠EAC=∠FCA. ∵EF垂直平分AC,∴OA=OC. 在△AOE和△COF中, ∴△AOE≌△COF(ASA).∴OE=OF. ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EF垂直平分AC,∴四边形AFCE是菱形. 图S1-2-3 母题变式 5. 如图S1-2-4,在▱ABCD中,O是对角线BD的中点,过点O作EF⊥BD,垂足为O,且分别交AD,BC于点E,F.求证:四边形BEDF是菱形. 图S1-2-4 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, O为对角线BD的中点,∴BO=DO,AD∥BC. ∴∠EDO=∠FBO.在△EOD和△FOB中,∴△DOE≌△BOF(ASA). ∴OE=OF.∴四边形BEDF是平行四边形. 又∵EF⊥BD∴四边形BEDF是菱形. 图S1-2-4 课本母题 知识点2 菱形的判定(四边相等的四边形) 【例2】(课本P7习题)已知:如图S1-2-5,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点.求证:四边形EFGH是菱形. 图S1-2-5 思路点拨:根据四边相等的四边形是菱形进行证明即可. 证明:∵E,F为OA,OB的中点, ∴EF为△OAB的中位线.∴EF=AB. 同理可得FG=BC,GH=CD,HE=DA. 又∵四边形ABCD为菱形, ∴AB=BC=CD=DA. ∴EF=FG=GH=HE. ∴四边形EFGH为菱形. 图S1-2-5 母题变式 6. 如图S1-2-6,在四边形ABCD中,线段BD垂直平分AC,且相交于点O,∠1=∠2.求证:四边形ABCD是菱形. 图S1-2-6 证明:∵线段BD垂直平分AC, ∴OA=OC,AB=BC, AD=CD,∠1=∠CBD. ∵∠1=∠2,∴∠CBD=∠2. ∴BC=CD. ∴AB=BC=CD=AD. ∴四边形ABCD是菱形. 图S1-2-6 创新设计 7. (创新题)如图S1-2-7,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=5,AC=6,BD=8. 图S1-2-7 (1)求证:四边形ABCD是菱形; (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, AC=6,BD=8, ∴AO=AC=3,BO=BD=4. ∵AB=5,且32+42=52,∴AO2+BO2=AB2. ∴△AOB是直角三角形,且∠AOB=90°. ∴AC⊥BD.又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴四边形ABCD是菱形. 图S1-2-7 (2)过点A作AE⊥BC于点E,求AE的长. (2)解:∵四边形ABCD是菱形, ∴BC=AB=5. ∵=AC·BO=BC·AE, ∴×6×4=×5×AE.解得AE=. 图S1-2-7 8. (创新变式)如图S1-2-8,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=13,OA=12,OB=5. 图S1-2-8 图S1-2-8 (1)求证:四边形ABCD是菱形; (1)证明:在△AOB中,∵AB=13,OA=12,OB=5, ∴AB2=132=169,OA2+OB2=122+52=169. ∴AB2=OA2+OB2. ∴△AOB为直角三角形,且∠AOB=90°. ∴AC⊥BD.又∵四边形ABCD是平行四边形,