专题10 一定是直角三角形吗-【暑假精品课程】2023年新八年级数学暑假衔接（北师大版，成都专用）

专题10 一定是直角三角形吗 【知识点精讲】 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 3.互逆命题 如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题. 要点：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题. 4.勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长； 【基础题型梳理】 题型1.勾股定理的证明 例1．下面图形能够验证勾股定理的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 例2．综合与实践． 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者． (1)我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．在中，，若，，，请你利用这个图形说明． (2)业余数学爱好者向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图2所示的方式放置，，，，．请你利用这个图形说明．(提示：连接，) 例3．在学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示． (1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ． (2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： ．（结果为最简） (3)根据上面两个结论，解决下面问题： ①在中，，三边长分别为a、b、c，已知，求的值． ②如图3，四边形中，对角线互相垂直，垂足为O，，在中，，若的周长为1，则的面积＝　 　． 例4．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：    证明：连接，过点D作边上的高，则， ∵，， ∴ ∴． 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中． 求证：． 题型2.构造直角三角形 例1．绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积． 例2．小颖爸爸为了丰富活动，为小区里的小朋友们搭了一架简易秋千（如图），秋千AB在静止位置时，下端B距离地面0.6m，即OB＝0.6m，当秋千荡到AC的位置时，下端C距离地面1.4m，即CD＝1.4m，与静止位置的水平距离OD＝2.4m，求秋千AB的长． 例3．国庆节前，学校开展艺术节活动，小明站在距离教学楼（）米的A处，操控一架无人机进行摄像，已知无人机在D点处显示的高度为距离地面米，随后无人机沿直线匀速飞行到点E处悬停拍摄，此时显示距离地面米，随后又沿着直线飞行到点B处悬停拍摄，此时正好位于小明的头顶正上方（），且显示距离地面米，已知无人机从点D匀速飞行到点E所用时间与它从点E匀速飞行到点B所用时间相同，你能求出无人机从点D到点E再到点B一共飞行了多少米吗？请写出相应计算过程． 例4．在小学，我们已经认识了正方形，知道它的对边平行，四条边相等，四个角都是直角，我们可以利用这些性质解决几何问题．如图1，在正方形中，点在上，点在的延长线上，． (1)证明：； (2)证明：； (3)连接（如图2），若，，，请利用图形验证勾股定理． 题型3.赵爽弦图 例1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 例2．在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将个全等的小正方形嵌入长方形内部，其中点，，，