专题09 探索勾股定理-【暑假精品课程】2023年新八年级数学暑假衔接（北师大版，成都专用）

专题09 探索勾股定理 【知识点精讲】 1.勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. 　 （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 2.勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　　 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　　 　　　 ，所以. 3.勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为的线段. 【基础题型梳理】 题型1.利用勾股定理解直角三角形 例1．一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则第三边的长为（    ）． A．10 B． C． D．10或 例2．在中，，，，则的长为（　　） A．3 B．6 C． D． 例3．若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的第三条边长为_____． 例4．如图所示，正方形网格中，三个正方形A，B，C的顶点都在格点上，用等式表示三个正方形的面积之间的关系___________． 题型2.勾股定理与网格问题 例1．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的顶点都在格点上，且三边长分别为4，，．    (1)在图中画出一个满足条件的； (2)直接写出（1）中所画的面积． 例2．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长均为1，线段的端点和点M都在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点在格上点上．    (1)在图①中画一个，使得． (2)在图②中画一个，使得． (3)在图③中画一个，使得点M到三边的距离相等． 例3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1，以格点为顶点分别按下列要求画图．    (1)在图①中，画一个正方形，使它的边长为； (2)在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (3)在图③中，画一个三角形，使它的三边长分别为，，5，并直接写出该三角形最长边上的高的长度． 题型3.折叠问题 例1．如图，已知中，，，将此三角形沿翻折，使得点A与点B重 合，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例2．如图，在中，，，，D，E分别是边和上的点，把沿着直线折叠，若B恰好落在中点M上，则长为______． 例3．如图所示，把矩形纸条沿，同时折叠，，两点恰好落在边的点处，若的度数恰好为，，，则矩形的边的长为_____． 例4．如图，在中，，D为上的一点，将沿折叠，点C恰好落在边上的点E处，若，，求的长．    题型4.证明数量关系 例1．已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O． （1）若，，，则______； （2）若，，则______； （3）若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是______． 例2．如图，在中，∠ACB=90°，M为AB的中点，∠PMQ=90° ，试判断线段PQ，AP，BQ之间的数量关系，并说明理由． 例3．如图，已知和中，，，，连接交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)连接，，求证． 例4．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．    (1)判断与间的数量关系，并说明理由； (2)直接写出线段、、间满足的数量关系． 【课后训练】 1．在中，，则的面积为（  ） A．6 B． C．10 D．20 2．若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积是（    ） A．30 B．60 C． D．40 3．已知的三边分别为、、，则下列结论不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，则的长为_________． 5．若一直角三角形两直角边长分别为21和28，则斜边长为________． 6．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、2、3、4，则最大的正方形E的面积是___________． 7．如图，一张直角三角形纸片ABC中，，将它沿折痕折叠，使点A与点B重合，则___________．    8．对角线互相垂直的四边形叫做“垂