第十三章 轴对称 重点提升练二 一线三等角模型（“___mathrm{K}__”型图）-【课课帮】2023-2024学年八年级上册初二数学同步作业配套课件ppt

1 2 第十三章 轴对称 重点提升练二 一线三等角模型（“ ”型图） 3 特训秘籍 在 中， ， ，直线 经过点 ，且 于点 ， 于点 .当直线 绕点 旋转到图1的位置时， ， ， 满足 的关系是： ；当直线 绕点 旋转到图2的位置时， ， ， 满足的关系是： ；当直线 绕点 旋转到图3的位置时， ， ， 满足的关系是： . （图1） （图2） （图3） （典例图1） 【典例剖析】（1） 如图1， ， ， ，连接 ， ，且 于点 ， 与直线 相交于点 .求证： 是 的中点； （典例图） 解：证明：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 . ， . ， . 1 2 3 5 . 在 和 中， . 同理， . . ， ， . 1 2 3 在 和 中， . 是 的中点. 1 2 3 【典例剖析】如图，过点 作 于点 ,过点 作 于点 ,根据余角的性质得到 ,根据全等三角形的性质得到 ,同理 ,求得 ,由全等三角形的性质得到 ,于是得到 是 的中点; 1 2 3 8 （典例图2） （2）如图2，在平面直角坐标系中， 为平面内任意一点，点 的坐 标为 .若 是以 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出 点 的坐标. [答案] 点 的坐标为 或 . 【典例剖析】可过点 作 轴于点 ,过点 作 轴于点 , 与 相 交于点 ,根据余角的性质得到 ,根据全等三角形的性质得到 , ,设 ,则 ,于是得到结论. 1 2 3 9 【针对训练】 1./新考向·综合与实践/ 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为 ，于 是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型.当模型中有一组对应边长相等时， 则模型中必定存在全等三角形. （1题图1） （1）问题解决：如图1，在等腰 中， ， ，过点 作直线 ， 于点 ， 于点 ， 求证： ； 1 2 3 10 解：证明： ， ， . . ， . . 在 和 中， . 1 2 3 11 （1题图2） （2）问题探究：如图2，在等腰 中， ， ，过点 作直线 ， 于点 ， 于点 ， ， ，求 的长； [答案] ， ， . . ， . 1 2 3 12 . 在 和 中， . ， . . 的长为 . 1 2 3 （1题图3） （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 求点 的坐标. （1题图） [答案] 如图，过点 作直线 轴，交 轴于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，交 轴于点 ，则 . ， . 1 2 3 14 . ， ， ， ， . . 在 和 中， . ， . ， . 点 的坐标为 . 1 2 3 【灵活变式】 2.已知，在 中， ， ， ， 三点都在直线 上，且 ， . （2题图1） （1）如图1，若 ，则 与 的数量关系为________， 与 的数量关系为_________； <m></m> <m></m> 1 2 3 16 （2题图2） （2）如图2，判断线段 ， 与 之间的数量关系，并说 明理由； 解： .理由如下： ， ， . 在 和 中， . ， . . 1 2 3 17 （2题图3） （3）如图3，若只保持 ， ，点 在 线段 上以每秒2个单位长度的速度由点 向点 运动，同时， 点 在线段 上以每秒 个单位长度的速度由点 向点 运动， 它们运动的时间为 （单位： ）.是否存在 ，使得 ？若存在，求出相应的 的值；若不存在，请说 明理由. 1 2 3 18 [答案] 存在.理由如下： 当 时， ， . .此时 . 当 时， ， . ， . 综上所述， ， 或 ， . 1 2 3 19 （3题图） 3./2023大连市中山区期末/如图， 与 均为等腰 三角形， ，且 ， 为 延长 线上一点， . （1）若 ，求 的度数； 解： ， ， . ， . ， . 1 2 3 20 （2）求证： ； 证