1.1菱形的性质与判定（一）课件 2023-2024学年北师大版九年级数学上册

第一章 特殊平行四边形 菱形的性质与判定(一) 1 思维导图 (限时3分钟) 温故知新 1. 如图S1-1-1,在平行四边形ABCD中,∠A=50°,则∠B=( D ) 图S1-1-1 D A. 50° B. 65° C. 100° D. 130° 2. (2022广东)如图S1-1-2,在▱ABCD中,一定正确的是( C ) 图S1-1-2 C A. AD=CD B. AC=BD C. AB=CD D. CD=BC 知识重点 A. 有一组 邻边相等 的平行四边形叫做菱形. 邻边相等 对点范例 3如图S1-1-3,要使▱ABCD变为菱形,需要添加的条件是( D ) 图S1-1-3 D A. AC=BD B. AD=BC C. AB=CD D. AB=BC 知识重点 B. (1)菱形的四条边 相等 ; (2)菱形的对角线 互相垂直 . 相等 互相垂直 对点范例 4如图S1-1-4,四边形ABCD是菱形,AD=BD,AD=2,则该菱形的周长与对角线AC的长分别是( D ) 图S1-1-4 D A. 16,4 B. 16, C. 8,2 D. 8,2 课本母题 知识点1 菱形定义的应用 【例1】如图S1-1-5,在平行四边形ABCD中,已知AB=(2x-1)cm,BC=(x+2)cm.要使平行四边形ABCD变为菱形,则x的值应为多少?并求出此时菱形ABCD的边长. 图S1-1-5 思路点拨:当AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,列方程即可求出x 的值,进而可求出AB的长. 解:当AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形, ∴2x-1=x+2. 解得x=3. 此时菱形ABCD的边AB长为x+2=5. ∴当x=3时,平行四边形ABCD是菱形, 此时菱形ABCD的边AB长为5 cm. 图S1-1-5 母题变式 5. (原创题)如图S1-1-6,平行四边形ABCD的两边AB,AD的长是关于x,y的方程组的解.当m为何值时,平行四边形ABCD是菱形? 求出这时菱形的边长. 图S1-1-6 解: 图S1-1-6 ②-①得x=6-m. 把x=6-m代入①得y=2m-6. 则方程组的解为 ∴当x=y时,平行四边形ABCD是菱形. ∴6-m=2m-6.解得m=4. 这时菱形的边长AB=6-m=6-4=2. 课本母题 知识点2 菱形的性质的运用(对角线与边长) 【例2】(课本P4随堂练习改编)如图S1-1-7,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O. 已知AB=5 cm,BD=8 cm,求AC的长. 图S1-1-7 思路点拨:根据菱形的性质可得AC⊥DB,BO=BD,AO=AC,再利用勾股定理计算出AO的长,进而得到AC的长. 解:∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,BO=BD,AO=AC. ∵BD=8 cm,∴BO=4 cm. 在Rt△ABO中,AO==3(cm). ∴AC=2AO=6(cm). 图S1-1-7 母题变式 6. 如图S1-1-8,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=5 cm,AO=4 cm.求: 图S1-1-8 (1)两条对角线AC和BD的长; 解:(1)∵四边形ABCD为菱形, 对角线AC,BD相交于点O, ∴AC⊥BD. ∵AB=5 cm,AO=4 cm, 在Rt△AOB中,BO==3(cm). ∴AC=2AO=8(cm),BD=2BO=6(cm). 图S1-1-8 (2)菱形ABCD的周长. 解:(2)菱形ABCD的周长为5×4=20(cm). 图S1-1-8 创新设计 7. (创新题)如图S1-1-9,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F在对角线BD上,且BF=DE,连接AE,AF. 图S1-1-9 (1)求证:AE=AF; (1)证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴OB=OD,AC⊥BD. ∵BF=DE, ∴BF-OB=DE-OD, 即OF=OE.∴AE=AF. 图S1-1-9 (2)若BE=AE,BD=2AC=16,求线段EF的长. (2)解:∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,OB=OD,OA=OC. ∵BD=2AC=16,∴OA=4,OB=8. 设BE=AE=x,则OE=OB-BE=8-x. 在Rt△AOE中,AE2=OA2+OE2,即x2=(8-x)2+42.解得x=5.∴OE=8-5=3.由(1)知OF=OE, ∴EF=2OE=6. 图S1-1-9 8. (创新变式)如图S1-1-10,已知四边形ABCD是菱形,过AB的中点E作AC的垂线EF,交AD于点M,交CD的延长线于点F. 图S1-1-10 (1)求证:AM=DM; ∴BD⊥AC,AB∥CD.∵EF⊥AC,∴EF∥BD. ∴四边形EFDB是平行四边形. ∴DF=EB.∵E是AB的中点, ∴AE=EB.∴A