第一章特殊平行四边形 讲义2022-2023学年北师大版九年级数学上册

9上 数学 《特殊平行四边》 【知识点一、菱形】 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形. 【知识点二、矩形】 1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： ４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 特别说明：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 【知识点三、正方形】 1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角； （3）四条边都相等； （4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 【知识点四： 中点四边形】 1. 顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形。 2. 常见的中点四边形： ①任意四边形的中点四边形是平行四边形； ②平行四边形的中点四边形是矩形； ③矩形的中点四边形是菱形； ④菱形的中点四边形是矩形； ⑤正方形的中点四边形是正方形。 【知识点五： 菱形、矩形、正方形、平行四边形之间的关系】 【对点训练】 【菱形的性质和判定】 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长. 2．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF.求证：∠ABF＝∠CBE. 3. 已知：如右图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB= ，OA=2，OB=1。 求证： □ABCD是菱形. 4.如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD. 求证：四边形ABCD是菱形． 【矩形的性质和判定】 1．如图，点E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD上的一点，且DF＝BE.求证：AF＝CE. 2.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足． (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)求证：四边形AECF是矩形． 4. 如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点． (1)求证：△ABM≌△DCM； (2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论． 5．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF. (1)求证：BE＝BF； (2)若∠ABE＝20°，求∠BFE的度数； (3)若AB＝6，AD＝8，求AE的长 【正方形性质、判定】 1.如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE，AF，EF. （1）求证：△ABE≌△ADF （2）若AE=5，请求出EF的长。 2.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4. (1)证明：△ABE≌△DAF； (2)若∠AGB＝30°，求EF的长． 3. 如图，已知在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E， 且CF＝AE； (1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由； (2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论． 4.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是分别在OD、OC上的动点，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M，连接OM． (1)求证：△ADE≌△DCF； (2)求证：AM⊥DF； (3)当CD=AF时，试判断△MOF的形状，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $