专题01 一元二次方程-【暑假预习课堂】2023年新九年级数学【赢在暑假】同步精讲精练（人教版）

专题一 一元二次方程 【专题导航】 目录 【考点一 一元二次方程的定义】 【考点二 一元二次方程的一般形式】 【考点三 一元二次方程的解】 【考点四 一元二次方程的解法】 【考点五 适当方法解一元二次方程】 【聚焦考点1】 一元一次方程的概念 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数为2（二次）的整式方程。 一元二次方程满足条件（1）只含一个未知数，（2）未知数的最高次数为2（3）整式方程 【典例剖析1】一元二次方程的定义 【典例1-1】关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，则m的值是（　　） A．﹣1 B．3 C．1 D．1或﹣1 【典例1-2】若方程kx2﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是（　　） A．k＞0 B．k≠0 C．k＜0 D．k为实数 针对训练1 【变式1-1】若是关于x的一元二次方程，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．0 D．2或﹣2 【变式1-2】若方程xm+1﹣（m+1）x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．0 B．±1 C．1 D．﹣1 【变式1-3】已知关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【能力提升1】一元二次方程的定义 【提升1-1】.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【提升1-2】已知ax2+bx+c是关于x的多项式，记为P（x）． 我们规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x）． 例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，则P（x）的导出多项式Q（x）＝2•3x﹣2＝6x﹣2． 根据以上信息，解答下列问题： （1）若P（x）＝x2﹣2x，则Q（x）＝　 　； （2）若P（x）＝2x2+4（2x﹣1），求关于x的方程Q（x）＝2x的解； （3）已知P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2是关于x的二次多项式，Q（x）为P（x）的导出多项式，若关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，求正整数a的值． 【提升1-3】阅读与理解 已知ax2+bx+c是关于x的多项式，记为P（x）．我们规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x）．例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，则P（x）的导出多项式Q（x）＝2•3x﹣2＝6x﹣2． 根据以上信息，回答问题： （1）若P（x）＝x2﹣2x，则它的导出多项式Q（x）＝　 　； （2）设Q（x）是P（x）的导出多项式． ①若P（x）＝2x2+4（2x﹣1），求关于x的方程Q（x）＝0的解； ②已知P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2是关于x的二次多项式，且关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，求正整数a的值． 【聚焦考点2】 一元二次方程的一般形式： 在一般式中，当b＝0时，则有这两种 a叫做二次项系数， b 叫做一次项系数， c叫做常数项 注意：a0 【典例剖析2】一元二次方程的一般形式 【典例2-1】把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项． （1）（2x﹣1）（3x+2）＝x2+2； （2）． 【典例2-2】关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，试求b，c的值． 针对训练2 【变式2-1】若关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m﹣4＝0的常数项为0．求m的值． 【变式2-2】阅读理解： 定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 　 　． （2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 【能力提升2】一元二次方程的一般形式 【提升2-1】将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义＝ad﹣bc．上述记法就叫做二阶行列式．那么＝22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式