专题20 全等三角形含辅助线证明题——截长补短-【暑期培优】2023年暑假七升八（新八年级）数学培优计划（人教版）

2023年 七升八数学暑假培优计划 专题20 全等三角形含辅助线证明题——截长补短 1．如图所示， ，，分别是， 的平分线，点E在上，求证：．    2．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    3．（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系； （2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：； （3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 4．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，点E、F分别在边AB，BC上，连接EO、FO，使∠EOF＝60°，连接EF． （1）求∠BOC的度数． （2）求证：CF＝BE+EF． 5．如图1，已知△ABC为正三角形，以AC为腰作等腰三角形ACD，使AC=AD． （1）若∠CAD=30°，则∠BDC的度数为　　　　； （2）若∠CAD的大小在0°~90°范围内之间任意改变，∠BDC的度数是否随之改变？请说明理由； （3）E是DC延长线上一点，且EB=ED，连接AE，如图2，试探究EA，EB，EC之间的关系． 6．如图，已知C（2，0），B点在C点左边且OB＝OC，A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC＝∠BAC． （1）求B点坐标； （2）求证：DA平分∠CDE； （3）若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变请求出∠BAC的度数． 7．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°． （1）求证：AD为∠BDC的平分线； （2）若∠DAE=∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系_______． 8．如图：在△ABC中，∠C＝2∠B．AD平分∠BAC （1）如图①，当∠C＝90°时，则∠CAD的度数为 ． （2）如图②，在第（1）问的条件下，过D作DE⊥AB于点E，已知AB＝6，求△DBE的周长． （3）如图③，当∠C≠90°，证明：AC＋CD＝AB． 9．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD． 10．（1）如图①，四边形为正方形，点分别在与上，且，求证：． （2）如图②，在四边形中，，点分别在与上，且.猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图③，在四边形中，与互补，点分别在与上，且，请直接写出，与之间的数量关系．      11．（1）如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为______．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．【可借鉴第（1）问的解题经验】 12．在图1、2中，已知∠ABC＝120°，BD＝2，点E为直线BC上的动点，连接DE，以DE为边向上作等边△DEF，使得点F在∠ABC内部，连接BF． （1）如图1，当BD＝BE时，∠EBF＝　 　； （2）如图2，当BD≠BE时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明，若不成立请说明理由； （3）请直接写出线段BD，BE，BF之间的关系式． 13．如图，四边形ABCD中，,,,对角线BD平分交AC于点P.CE是的角平分线,交BD于点O. （1）请求出的度数; （2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由; 14．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上. (1)如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合， ①求证：AF＝AE+AD． ②求证：AD∥BC． (2)如图2，若AD＝AB，那么线段AF，AE，BC之间存在怎样的数量关系. 15．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB＝AE，AF平分∠CAE交DE于F． （1）如图1，连CF，求证：∠ABE＝∠ACF； （2）如图2，当∠ABC＝60°时，求证：AF+EF＝FB； （3）如图3，当∠ABC＝45°时，若BD平分∠ABC，求证：BD＝2EF． 16．（1）问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明ABE