专题19 全等三角形含辅助线证明题——倍长中线-【暑期培优】2023年暑假七升八（新八年级）数学培优计划（人教版）

2023年 七升八数学暑假培优计划 专题19 全等三角形含辅助线证明题——倍长中线 1．如图，是的中线，是的中线，且．求证： (1)； (2)平分． 2．已知：如图，在△ABC中，点D是BC的中点，过点D作直线交AB，CA的延长线于点E，F． 当BE=CF时，求证：AE=AF． 3．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知图能得到的理由是 ． (2)求得的取值范围是 ． (3)如图2，是的中线，交AC于E，交于F，且．求证：． 4．如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是______． (2)求得的取值范围是______． (3)如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：． 5．如图，已知在中，， 是边上的中线，延长到点D，使．求证：． 6．(1)阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接(或将绕着点逆时针旋转得到)，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______； (2)问题解决：如图2，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于，两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 7．规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点P，连接，请证明． 8．（1）已知如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （2）思考：已知如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 9．在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E是BC的中点，过E作EFAD交CA延长线于P，交AB于F，求证： (1)△APF是等腰三角形； (2)BF=CP (3)若AB=12，AC=8，试求出PA的长． 10．在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点E，F分别在边AC，AB上，且AF=AE，连接BE，CF．M为FC的中点，连接AM ． (1)如图（1），试猜想BE和AM的关系，请写出你所得到的结论； (2)如图（2），将△AFE绕点A逆时针方向旋转90°，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，说明理由； (3)如图（3），若将△AFE绕点A逆时针方向旋转后（0＜＜90），（1）中的结论是还成立吗？请判断并说明理由． 11．已知：如图，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90，CD是△ABC的中线，点E在CD上，且∠AED=∠B．求证：AE=BC． 12．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． （探究与发现） （1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形 　 　 （理解与应用） （2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝5，DE＝3，设EP＝x，则x的取值范围是 　 　． （3）已知：在△ABC中，D为BC的中点，M为AC的中点，连接BM交AD于F，若AM＝MF．求证：BF＝AC． 13．如图，△ABC是等边三角形，点E、F分别为AB、AC上的点． （1）如左图，若BE＝AF，连接CE、BF交于点P，连接AP，且AP⊥CE，求证：2BP＝CP； （2）如右图，连接BF，点P是BF上一点，∠APB＝120°，连接AP、CP，E为AB中点，连接EP，探究线段EP和CP的数量关系，并证明你的结论． 14．（1）如图1，已知中，AD是中线，求证：； （2）如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：； （3）如图3，在中，D，E在边BC上，且．求证：． 15．已知：等腰和等腰中，，，． （1）如图1，延长交于点，若，则的度数为 ； （2）如图2，连接、，延长交于点，若，求证：点为中点； （3）如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，直接写出的面积． 16．如图，四边形中，，过点D作，与C交于点D，与交于点H． (1)求证：为等腰三角形； (2)若E为中点，猜想，与三者的数量关系．并证明之 17．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线． （1）如图1，是的中线，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是 ； （2）如图2，是的中线，