重难点专项突破03二次函数综合之“特殊三角形存在性”问题-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

重难点专项突破03二次函数综合之“特殊三角形存在性”问题 【知识梳理】 一、等腰三角形存在性 根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意． 1、知识内容： 在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种： （1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边； （2）两点间距离公式：设A（x1，y1）、B（x2，y2） 2、解题思路： （1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； （2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程） （3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根． 二、直角三角形存在性 在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理。 以函数为背景的直角三角形存在性问题 1、知识内容： 在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。另外，较困难的情况则需要用到全等或者勾股定理的计算来确定直角三角形． 2、解题思路： （1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论； （2）计算出相应的边长等信息； （3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标． 【考点剖析】 题型一：等腰三角形存在性 1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，抛物线的顶点为D，其图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，点B的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以A，C，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出以为腰时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023·广东汕头·汕头市潮阳实验学校校考二模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，拋物线的对称轴交轴于点，已知．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的一个动点（不与重合），过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．（2023春·湖北武汉·九年级校考期中）如图，抛物线与x轴于A，B两点，交y轴于点C，． (1)直线过A，C两点， ①如图1，求抛物线的解析式； ②如图1，将直线向右平移，A的对应点为B，且，以为一边作等腰三角形，求N的坐标； (2)如图2，M为抛物线第一象限上任意一点，直线交y轴于点H，若，求a的值． 4．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于两点，与y轴交于点C．    (1)求的面积； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过作于点，求线段的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线平移个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，将沿直线平移得到（不与重合），若以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 题型二：直角三角形存在性 5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式： (2)证明：为直角三角形： (3)在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 6．（2022·广东梅州·一模）已知抛物线与轴有两个不同的交点． (1)试确定的取值范围． (2)设该抛物线与轴的交点为，，其中；抛物线与y轴交于点，如图所示． ①求该抛物线的表达式并确定点坐标和点坐标； ②连接，动点以每秒个单位长度的速度由向运动，同时动点E以每秒个单位长度的速度由向运动，连接，当点到达点的位置时，、同时停止运动，设运动时间为秒．当为直角三角形时，求的值． 7．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接．    (1)求A、B、C三点的坐标及抛物线的对称轴； (2)若已知x轴上一点，则在抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且．    (1)试求出点B的坐标． (2)分别求出直线和抛物线的解析式．