第12讲 倾斜角与斜率5种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）

第12讲 倾斜角与斜率5种常见考法归类 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 知识点1 直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx. 2．倾斜角的范围 直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角 ②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线 知识点2　直线的斜率 1．斜率的定义 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tanα. 2．斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率． 注：①若直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，则直线P1P2的方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1)，也可表示为(1，k)，其中k＝. ②倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行 ③斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换 知识点3 斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 1、求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 2、利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的； (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． 3、在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记. 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 － －1 － 4、斜率与倾斜角的关系 （1）由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决． （2）由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解． 考点一：求直线的倾斜角 例1．（2023秋·江西九江·高二校考阶段练习）直线的倾斜角α的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式1．（2023秋·高二课时练习）对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考期中）若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为________．    变式4．（2023·江苏·高二假期作业）如图，直线l的倾斜角为（　　）    A．60° B．120° C．30° D．150° 变式5．【多选】（2023秋·高二课时练习）若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转45°后得直线，则直线的倾斜角可能为（   ） A． B． C． D． 变式6．（2023·高二课时练习）直线与直线的夹角为______． 考点二：求直线的斜率 例2．（2023秋·湖南娄底·高二统考期末）已知直线的倾斜角是，则此直线的斜率是（ ） A． B． C． D． 变式1．（2023·江苏·高二假期作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率． (1)； (2)； (3)． 变式2．（2023秋·天津南开·高二崇化中学校考期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 变式3．（2023·全国·高二专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（2023秋·江西·高二校联考阶段练习）已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为，则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为________，________. 变式5．【多选】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标