3.2.1 单调性与最大（小）值（ 种常考题型）-【初升高衔接】2023年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

3.2.1单调性与最大（小）值（八种常考题型） 知识点1 函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定； （3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间D上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 知识点2 最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为I,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值． 题型一 函数单调性的判断与证明 1．（多选）下列函数中满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），都有”的是（    ） A． B． C． D． 2．设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （    ） A． B． C． D． 3．已知，. (1)解不等式； (2)判断并证明函数的单调性. 4．用定义证明：函数在上是增函数． 5．利用函数单调性的定义判断函数的单调性. 6．（多选）以下函数在其定义域上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），且当x＞0时，，求证：f（x）在R上是减函数； 8．已知函数. (1)求的解析式; (2)判断并证明函数在上的单调性. 9．已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（    ） A．是增函数 B．是减函数 C．是增函数 D．是减函数 题型二 求函数的单调区间 10．定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 11．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 12．己知函数的图象如图，网格中每个小正方形的边长为1，则函数的单调递增区间有__________；函数的单调递减区间有__________．    13．函数的单调递增区间是______ 14．已知函数. (1)画出的函数图像. (2)写出的最大值和单调递减区间. 15．定义域为的函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则： （1）函数的单调递增区间是__________；单调递减区间是__________； （2）函数的单调递增区间是__________；单调递减区间是__________． 16．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D．， 17．已知函数，．求函数的单调区间． 题型三 复合函数的单调性 18．函数的定义域为 _____，减区间为 _____． 19．的单调增区间是______. 20．（多选）已知是上的增函数，是上的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 21．函数 的图象大致为（　　） A． B． C． D． 22．已知函数在上单调递减，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 23．已知函数，，试求的单调区间. 24．函数的单调递增区间为__________． 25．（多选）若函数均是定义域为R的增函数，则下列函数在其定义域上为增函数的是（     ） A． B． C． D． 题型四 根据单调性解不等式 26．己知函数为定义在上的减函数，且，试求实数m的取值范围． 27．已知函数是实数集上的减函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 28．（多选）已知定义在上的函数满足：对任意的，当时，都有，若不等式恒成立，则实数m的可能取值为（    ） A． B． C．0 D．1 29．已知是上的增函数，是其图象上两点，则不等式的解集为（