3.1.1 椭圆及其标准方程（六种常考题型）-【高一升高二衔接】2023年新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

3.1.1椭圆及其标准方程(六种常考题型) 知识点一 椭圆的定义 我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距． 根据椭圆的定义,设点与焦点的距离的和等于.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集． 知识点二 椭圆的标准方程 椭圆 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 焦距 的关系 题型一 根据椭圆的定义求动点轨迹 1．设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 2．在平面直角坐标系中，已知点，，动点与点关于原点对称，四边形的周长为8，记点的轨迹为曲线．求的方程. 3．已知动点M到定点与的距离的和是，则点M的轨迹方程是______． 4．方程化简后为______． 5．方程，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆：的右焦点为F，直线交椭圆E于M，N两点，若，短轴的一个端点到直线l的距离是. (1)求椭圆E的方程； 7．已知A（－3，0），B（3，0），△ABC的周长为16，求顶点C的轨迹方程． 8．已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6，求点的轨迹的方程. 题型二 求椭圆的标准方程 9．若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（    ） A． B．或 C． D．以上都不对 10．若已知椭圆，长轴在轴上，若焦距为4，则等于（     ） A．4 B．5 C．7 D．8 11．过点且与有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 12．已知点为椭圆的左顶点，点为右焦点，直线与轴的交点为，且，点为椭圆上异于点的任意一点，直线交于点. (1)求椭圆的标准方程； 13．已知椭圆的左焦点到直线的距离为，求椭圆的标准方程. 14．如图，A、F是椭圆C：（）的左顶点和右焦点，P是C上在第一象限内的点. (1)若，轴，求椭圆C的方程； 15．已知椭圆C过点，；过原点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点. (1)求椭圆C的标准方程； 16．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过，两点. (1)求椭圆的方程； 题型三 根据方程表示椭圆求参数 17．“是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 18．“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．方程表示椭圆的一个充分不必要条件是（    ） A．且 B． C． D． 20．已知P：，Q：表示椭圆，则P是Q的______条件． 21．已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是__________． 22．若曲线是焦点在x轴的椭圆，则的取值范围为_________． 23．（多选）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的可能取值为（　　） A．1 B． C．2 D．3 24．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______． 题型四 椭圆的焦点三角形问题 25．已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 26．已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 27．设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点 的直线交椭圆于，，若，的周长为16，求. 28．设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（    ） A．12 B．24 C． D． 29．已知点为椭圆上一点，椭圆的两个焦点分别为，，则的周长是（    ） A．20 B．36 C．64 D．100 30．已知椭圆的焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为_________. 31．已知椭圆的两个焦点为、，若点P是椭圆上的点，且，则______． 32．已知椭圆，若的顶点，分别是椭圆的两个焦点，在椭圆上，则的值为（    ） A．25 B． C．12 D．24 33．设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是__________. 题型五 与椭圆有关的轨迹问题 34．已知，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，，则动点P的轨迹方程是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 35．已知点分别在轴、轴上运动，，点在线段上，且.则点的轨迹方程是________ ； 36．设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.求点P的轨迹方程； 37．已知