专题02 与三角形有关的角-【暑假预习课堂】2023年新八年级数学【赢在暑假】同步精讲精练（人教版）

数学七年级升八年级暑假预习专题训练 专题二 与三角形有关的角 【专题导航】 目录 【考点一 三角形内角和】........................................1 【考点二 三角形的外角性质】.....................................4 【考点三 直角三角形的性质判定】.................................9 【聚焦考点1】 三角形的内角及内角和定理 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． 三角形内角和定理：三角形内角和是180° 【典例剖析1】 【典例1-1】综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b，且a∥b，三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠BAC＝30°．操作发现： （1）如图1，若∠1＝42°，求∠2的度数； （2）小颖同学将图1中的直线a，b向上平移得到图2，若∠CMN+∠CNM＝90°，∠2＝4∠1，求∠1的度数． 【典例1-2】综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：折叠三角形纸片，使BC与BA边在一条直线上，得到折痕BD； 操作二：折叠三角形纸片，得到折痕AE，使B，C，E三点在一条直线上． 完成以上操作后把纸片展平，如图1，判断∠ABD和∠CBD的大小关系是 　∠ABD＝∠CBD　，直线BC，AE的位置关系是 　BC⊥AE　． （2）深入探究 操作三：折叠三角形纸片，使点A落在折痕AE上，得到折痕DF，把纸片展平． 根据以上操作，如图2，判断∠DBF和∠BDF是否相等，并说明理由． （3）结论应用 如图1，已知∠ABC＝58°，∠ACB＝48°，请直接写出∠BDC的度数． 【典例1-3】如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC＝70°，AD是高，BE是角平分线，AD与BE相交于点O，求∠DAC和∠AOE的度数． 针对训练1 【变式1-1】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，∠ADE＝∠EFC． （1）求证：∠B＝∠EFC； （2）若∠A＝60°，∠ACB＝76°，求∠ADE的度数． 【变式1-2】如图，△ABC的顶点C在直线DE上，CF平分∠DCB，CF⊥CA，． （1）试说明：AB∥CD； （2）若∠B＝50°，求∠A的度数． 【变式1-3】在锐角△ABC中，E、D分别为AB、AC边上的动点，连接EC、BD交于点P． （1）如图1当E、D运动到CE⊥AB、BD⊥AC，∠BPC＝140°，求∠A的度数； （2）如图2当E、D运动到BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，求∠A与∠BPC的数量关系． 【能力提升1】 三角形内角和 【提升1-1】阅读下面的解答过程，并填空． 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠ABC＝∠ACB，CE∥DF；求证：∠DBF＝∠F． 证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知）， ∴　ABC　，　∠ACB　（角平分线的定义）． 又∵∠ABC＝∠ACB（已知）， ∴∠　DBC　＝∠　ECB　（等量代换）． 又∵CE∥DF（已知）， ∴​∠　F　＝∠　ECB　， ∴∠DBF＝∠F．（ 　等量代换　）． 【提升1-2】如图所示：△ABC的角平分线BD、CE相交于P，∠A＝80°，求∠BPC的度数． 【提升1-3】如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，∠ADB＝∠ABD．BE是△ABD中AD边上的高线，延长BE交AC于点F．设∠ABC＝α，∠ACB＝β． （1）当α＝70°时，∠ABF的度数为 　50°　； （2）求∠AFB的度数（用含α、β的式子表示）； （3）若∠AFB＝∠BAF，求β的值． ​ 【聚焦考点2】 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是 △ABC的一个外角. 性质 ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 ∠ACD ＝ ∠A +∠B ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 ∠ACD ＞ ∠A ∠ACD ＞∠B 归纳 1．三角形的一个外角与它相邻的内角互补； 　　2．三角形的外角和等于360°． 3.三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 三角形的外角和等于360°。即∠ACD +∠CBE +∠BAF ＝ 360° 注意：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和(并非6个外角之和) （2）常见模型 ①飞镖模型 结论：∠BOC= ∠A+∠B