第04讲 解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第04讲 解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想 目录 【典型例题】 1 【考点一 三角形中，利用面积求斜边上的高】 1 【考点二 结合乘法公式巧求面积或长度】 7 【考点三 巧妙割补求面积】 9 【考点四 “勾股树”及其拓展类型求面积】 12 【考点五 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】 18 【考点六 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】 22 【考点七 实际问题中的方程思想】 25 【考点一 三角形中，利用面积求斜边上的高】 例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是________． 【变式训练】 1．一个直角三角形的两条直角边边长分别为6和8，则斜边上的高为（       ） A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．5 2．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期中）在由边长为1的小正方形构成网格中的位置如图所示，则边上的高是（       ） A．5 B． C．6 D． 3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为__________． 4．如图，在中，，，是的边上的高，且，，，求的边上的高． 5．如图，在中，，，在中，是边上的高，，． (1)求的长． (2)求斜边边上的高． 6．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点． （1）特例感知 如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点，AD是BC边上的高．若BD＝3，CD＝1，试求线段AD的长度． （2）深入探究 如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点且AC＞AB，AD是BC边上的高．试探究线段CD与AB的数量关系，并给予证明． 【考点二 结合乘法公式巧求面积或长度】 例题：已知在中，所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（       ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．在中，AD是BC边上的高，，则的面积为（       ） A．18 B．24 C．18或24 D．18或30 3．直角三边长分别是x，和5，则的面积为__________． 【考点三 巧妙割补求面积】 例题：如图，是一块草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块草坪的面积． 【变式训练】 1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6，AD＝8，BC＝24，DC＝26，求四边形ABCD的面积． 2．如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1 （1）线段BC＝　 　，线段CD＝　 　； （2）求四边形ABCD的面积．（可以根据需要添加字母） 3．）如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形格点上， （1）边AC、AB、BC的长； （2）求△ABC的面积； （3）点C到AB边的距离 【考点四 “勾股树”及其拓展类型求面积】 例题：（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是（    ） A．20 B．26 C．30 D．52 【变式训练】 1．（2023·广西柳州·校考一模）如图，，正方形和正方形的面积分别是289和225，则以为直径的半圆的面积是（　　） A． B． C． D． 2．（2023春·新疆阿克苏·八年级校考期中）如图，三个正方形中的两个的面积，，则另一个的正方形的面积为_____________ 3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为且，则___________；以的三边向外作等边三角形，其面积分别为，则三者之间的关系为___________． 4．（2023春·八年级课时练习）已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有， (1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论； (2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系； (3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积． 5．（2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图