重难点专项突破01二次函数综合之“线段周长”问题-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

重难点专项突破01二次函数综合之“线段周长”问题 【知识梳理】 (1)线段的数量关系 此类问题一般是求满足线段数量关系的点的坐标，针对这种情况应先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；最后表示出线段的长度，列出满足线段数量关系的等式，从而求出未知数的值； (2)线段最值问题    此类问题通常有两类：    ①设出关键的点的未知数(通常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标)，通过题目中的函数和图形关系，用该点的横坐标表示出有关线段端点的坐标，进而表示出线段的长，通过二次函数的性质求最值，继而得到线段的最大值或最小值；   ②在求线段最小值的时候可以利用轴对称模型.此类问题一般是要寻找一个动点，使其到两个顶点的距离最小，通常是作一个定点关于动点所在直线的对称点，连接这个对称点与另一个定点的线段即为所求的最小值； (3)周长最值问题   此类问题一般为所求图形中有一动点，对其求周长最值，解决此类问题时应利用转化思想，即先观察图形，结合题目，分清楚定线段和不定线段，然后将其所求图形周长的最值转化到求不定线段和的最值，进而转化为求线段最值问题，其方法同(2). 【考点剖析】 题型一：线段的数量关系 1．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）抛物线经过点，与轴交于点，对称轴为，点是轴上一点，过点作垂直于轴的直线分别交抛物线和直线于点和点． (1)求二次函数的表达式； (2)若、、三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点的坐标； (3)分别过点、向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点、，矩形与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作，的最高点的纵坐标为，最低点纵坐标为，当时，求点的坐标． 题型二：线段最值问题 2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段长度的最大值． 3．（2023·内蒙古·内蒙古师范大学附属学校校考三模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，B点坐标为．与y轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求的最大值； (3)点D为抛物线对称轴上一点．当是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标． 4．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．    (1)求抛物线和一次函数的解析式． (2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由． (3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？ 5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点． ①当取得最大值时，求的值和的最大值； ②当是等腰三角形时，求点的坐标． 题型三：周长最值问题 6．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求周长的最小值； (3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 【过关检测】 一、单选题 1．（2020春·福建龙岩·九年级校考阶段练习）P是抛物线y＝x2－4x＋5上一点，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别是M，N，则PM＋PN的最小值是(　    　) A．3 B． C． D．5 2．（2023·山东临沂·统考二模）如图，二次函数图象经过，且有最小值，若A点关于y轴的对称点为B点，过B作y轴平行线交抛物线于点C，在的斜边上有一动点D，过D作于E，于F，则EF的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．（2023·山东济宁·统考一模）如图，抛物线经过点，点从点A出发，沿抛物线运动到顶点后，再沿对称轴l向下运动，给出下列说法： ①： ②抛物线的对称轴为； ③当点P，B，C构成的三角形的周长取最小值时，； ④在点P从点A运动到顶点的过程中，当时，的面积最大． 其中，所有正确的说法是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④